En geometría algebraica, un morfismo de esquemas f de X a Y se llama cuasi-separado si el mapa diagonal de X a X × Y X es cuasi-compacto (lo que significa que la imagen inversa de cualquier conjunto abierto cuasi-compacto es cuasi-compacto) . Un esquema X se llama cuasi-separado si el morfismo de Spec Z está cuasi-separado. Los espacios algebraicos cuasi separados y las pilas y morfismos algebraicos entre ellos se definen de manera similar, aunque algunos autores incluyen la condición de que Xes cuasi-separado como parte de la definición de un espacio algebraica o algebraica pila X . Grothendieck (1964 , 1.2.1) introdujo morfismos cuasi-separados como una generalización de morfismos separados.
Todos los morfismos separados (y todos los morfismos de los esquemas noetherianos) se cuasi-separados automáticamente. Los morfismos cuasi-separados son importantes para espacios algebraicos y pilas algebraicas, donde muchos morfismos naturales están cuasi-separados pero no separados.
La condición de que un morfismo esté cuasi-separado a menudo ocurre junto con la condición de que es cuasi-compacto.
Ejemplos de
- Si X es un esquema localmente noetheriano, entonces cualquier morfismo de X a cualquier esquema está cuasi-separado, y en particular X es un esquema cuasi-separado.
- Cualquier esquema o morfismo separado está casi separado.
- La línea con dos orígenes sobre un campo está casi separada sobre el campo pero no separada.
- Si X es un "espacio vectorial de dimensión infinita con dos orígenes" sobre un campo K, entonces el morfismo de X a la especificación K no está casi separado. Más precisamente, X consta de dos copias de Spec K [ x 1 , x 2 , ....] pegadas identificando los puntos distintos de cero en cada copia.
- El cociente de un espacio algebraico por un grupo discreto infinito que actúa libremente no suele estar casi separado. Por ejemplo, si K es un campo de característica 0, entonces el cociente de la línea afín por el grupo Z de enteros es un espacio algebraico que no está cuasi-separado. Este espacio algebraico también es un ejemplo de un objeto de grupo en la categoría de espacios algebraicos que no es un esquema; Los espacios algebraicos cuasi separados que son objetos de grupo son siempre esquemas de grupo. Hay ejemplos similares dados al tomar el cociente del esquema de grupo G m por un subgrupo infinito, o el cociente de los números complejos por un retículo.