En geometría y topología , es un axioma habitual de una variedad ser un espacio de Hausdorff . En la topología general , este axioma es relajado, y uno estudia las variedades que no son de Hausdorff : espacios localmente homeomórficos al espacio euclidiano , pero no necesariamente de Hausdorff.
Ejemplos de
Línea con dos orígenes
La variedad que no es de Hausdorff más familiar es la línea con dos orígenes , o línea de ojos saltones .
Este es el espacio del cociente de dos copias de la línea real.
- R × { a } y R × { b }
con la relación de equivalencia
Este espacio tiene un solo punto por cada número distinto de cero real de r y dos puntos de 0 a y 0 b . Una base local de barrios abiertos de en este espacio se puede pensar que consta de conjuntos de la forma , dónde es cualquier número real positivo. Una descripción similar de una base local de vecindarios abiertos dees posible. Por lo tanto, en este espacio todos los vecindarios de 0 a se cruzan con todos los vecindarios de 0 b , por lo que no es de Hausdorff.
Además, la línea con dos orígenes no tiene el tipo de homotopía de un complejo CW ni de ningún espacio de Hausdorff. [1]
Línea de ramificación
Similar a la línea con dos orígenes es la línea de ramificación .
Este es el espacio del cociente de dos copias de la línea real.
- R × { a } y R × { b }
con la relación de equivalencia
Este espacio tiene un solo punto para cada número real negativo r y dos puntos para cada número no negativo: tiene una "bifurcación" en cero.
Espacio Etale
El espacio etale de una gavilla , como la gavilla de funciones reales continuas sobre una variedad, es una variedad que a menudo no es de Hausdorff. (El espacio etale es Hausdorff si es un conjunto de funciones con algún tipo de propiedad de continuación analítica ). [2]
Notas
- ^ Gabard, págs. 4-5
- ^ Warner, Frank W. (1983). Fundamentos de colectores diferenciables y grupos de mentiras . Nueva York: Springer-Verlag. pag. 164 . ISBN 978-0-387-90894-6.
Referencias
- Baillif, Mathieu; Gabard, Alexandre, Manifolds: Hausdorffness versus homogeneity , arXiv : math.GN/0609098v1
- Gabard, Alexandre, una variedad separable que no tiene el tipo de homotopía de un complejo CW , arXiv : math.GT/0609665v1