Forma modular casi holomorfa
En matemáticas , las formas modulares casi holomorfas , también llamadas formas modulares casi holomorfas , son una generalización de formas modulares que son polinomios en 1/Im(τ) con coeficientes que son funciones holomorfas de τ. Una forma cuasimodular es la parte holomorfa de una forma modular casi holomorfa. Una forma modular casi holomorfa está determinada por su parte holomorfa, por lo que la operación de tomar la parte holomorfa da un isomorfismo entre los espacios de las formas modulares casi holomorfas y las formas cuasimodulares. Los ejemplos arquetípicos de formas cuasimodulares son la serie E 2 de Eisenstein(τ) (la parte holomorfa de la forma modular casi holomorfa E 2 (τ) – 3/πIm(τ)), y derivados de formas modulares.
En términos de la teoría de la representación, las formas modulares corresponden aproximadamente a los vectores de mayor peso de ciertas representaciones de series discretas de SL 2 ( R ), mientras que las formas casi holomorfas o cuasimodulares corresponden aproximadamente a otros vectores (no necesariamente de mayor peso) de estas representaciones.
Para simplificar la notación, esta sección trata el caso de nivel 1; la extensión a niveles superiores es sencilla.
Una forma modular casi holomorfa de nivel 1 es una función f en el semiplano superior con las propiedades:
Una forma cuasimodular de nivel 1 se define como el término constante de una forma modular casi holomorfa (considerada como un polinomio en 1/Im(τ)).
El anillo de formas modulares casi holomorfas del nivel 1 es un anillo polinomial sobre los números complejos en los tres generadores . De manera similar, el anillo de formas cuasimodulares de nivel 1 es un anillo de polinomios sobre los números complejos en los tres generadores .
