Las series de Eisenstein , que llevan el nombre del matemático alemán Gotthold Eisenstein , son formas modulares particulares con expansiones de series infinitas que pueden escribirse directamente. Originalmente definida para el grupo modular , la serie de Eisenstein se puede generalizar en la teoría de formas automórficas .
La parte real de
G 6 en función de
q en el
disco unitario . Los números negativos son negros.
La parte imaginaria de
G 6 en función de
q en el disco unitario.
Sea τ un número complejo con una parte imaginaria estrictamente positiva . Defina la serie holomórfica de Eisenstein G 2 k ( τ ) de peso 2 k , donde k ≥ 2 es un número entero, mediante la siguiente serie:
Esta serie converge absolutamente a una función holomórfica de τ en el semiplano superior y su expansión de Fourier dada a continuación muestra que se extiende a una función holomórfica en τ = i ∞ . Es un hecho notable que la serie Eisenstein es una forma modular . De hecho, la propiedad clave es su SL (2, ℤ ) -invarianza. Explícitamente si a , b , c , d ∈ ℤ y ad - bc = 1 entonces
(Prueba)
Si ad - bc = 1 entonces
así que eso
es una biyección ℤ 2 → ℤ 2 , es decir:
En general, si ad - bc = 1 entonces
y
G 2 k es por tanto una forma modular de peso
2 k . Tenga en cuenta que es importante suponer que
k ≥ 2 , de lo contrario sería ilegítimo cambiar el orden de la suma y la invariancia
SL (2, ℤ ) no se mantendría. De hecho, no existen formas modulares no triviales de peso 2. Sin embargo, se puede definir un análogo de la serie holomórfica de Eisenstein incluso para
k = 1 , aunque solo sería una
forma cuasimodular .
Las invariantes modulares g 2 y g 3 de una curva elíptica vienen dadas por las dos primeras series de Eisenstein:
El artículo sobre invariantes modulares proporciona expresiones para estas dos funciones en términos de funciones theta .
Cualquier forma modular holomórfica para el grupo modular se puede escribir como un polinomio en G 4 y G 6 . Específicamente, el orden superior G 2 k se puede escribir en términos de G 4 y G 6 a través de una relación de recurrencia . Sea d k = (2 k + 3) k ! G 2 k + 4 , así por ejemplo, d 0 = 3 G 4 y d 1 = 5 G 6 . Entonces el d k satisface la relación
para todo n ≥ 0 . Aquí, (n
k) es elcoeficiente binomial.
El d k ocurre en la expansión en serie para las funciones elípticas de Weierstrass :
Defina q = e 2π iτ . (Algunos libros más antiguos definen q como el nombre q = e π iτ , pero q = e 2 π iτ es ahora estándar en la teoría de números). Entonces la serie de Fourier de la serie de Eisenstein es
donde los coeficientes c 2 k están dados por
Aquí, B n son los números de Bernoulli , ζ ( z ) es la función zeta de Riemann y σ p ( n ) es la función de suma del divisor , la suma de las p- ésimas potencias de los divisores de n . En particular, uno tiene
La suma de q se puede resumir como una serie de Lambert ; es decir, uno tiene
para complejo arbitrario | q | <1 y a . Cuando se trabaja con la expansión q de la serie de Eisenstein, esta notación alternativa se introduce con frecuencia:
Como funciones theta
Dado q = e 2 π iτ , sea
y definir
donde θ m y θ ij son notaciones alternativas para las funciones theta de Jacobi . Luego,
por lo tanto,
una expresión relacionada con el discriminante modular ,
Además, dado que E 8 = E2
4y a 4 - b 4 + c 4 = 0 , esto implica
Productos de la serie Eisenstein
Las series de Eisenstein forman los ejemplos más explícitos de formas modulares para el grupo modular completo SL (2, ℤ ) . Dado que el espacio de formas modulares de peso 2 k tiene dimensión 1 para 2 k = 4, 6, 8, 10, 14 , los diferentes productos de la serie de Eisenstein que tienen esos pesos tienen que ser iguales hasta un múltiplo escalar. De hecho, obtenemos las identidades:
Usando las q- expansiones de la serie de Eisenstein dadas anteriormente, pueden reformularse como identidades que involucran las sumas de potencias de divisores:
por eso
y lo mismo para los demás. La función theta de una celosía unimodular uniforme de ocho dimensiones Γ es una forma modular de peso 4 para el grupo modular completo, que da las siguientes identidades:
para el número r Γ ( n ) de vectores de longitud al cuadrado 2 n en la red de raíz del tipo E 8 .
Técnicas similares que involucran series holomórficas de Eisenstein retorcidas por un carácter de Dirichlet producen fórmulas para el número de representaciones de un entero positivo n 'como una suma de dos, cuatro u ocho cuadrados en términos de los divisores de n .
Usando la relación de recurrencia anterior, todas las E 2 k superiores pueden expresarse como polinomios en E 4 y E 6 . Por ejemplo:
Muchas relaciones entre productos de la serie Eisenstein se pueden escribir de una manera elegante utilizando determinantes de Hankel , por ejemplo, la identidad de Garvan
dónde
es el discriminante modular . [1]
Identidades Ramanujan
Srinivasa Ramanujan dio varias identidades interesantes entre las primeras series de Eisenstein que implican diferenciación. Dejar
luego
Estas identidades, como las identidades entre las series, producen identidades de convolución aritmética que involucran la función de suma de divisores . Siguiendo a Ramanujan, para poner estas identidades en la forma más simple es necesario extender el dominio de σ p ( n ) para incluir cero, estableciendo
Entonces, por ejemplo
Otras identidades de este tipo, pero no directamente relacionadas con las relaciones precedentes entre las funciones L , M y N , han sido probadas por Ramanujan y Giuseppe Melfi , [2] [3] como por ejemplo
Las formas automórficas generalizan la idea de formas modulares para grupos de Lie generales ; y las series de Eisenstein generalizan de manera similar.
Al definir O K como el anillo de números enteros de un campo numérico algebraico K totalmente real , se define el grupo modular de Hilbert-Blumenthal como PSL (2, O K ) . Entonces se puede asociar una serie de Eisenstein a cada cúspide del grupo modular de Hilbert-Blumenthal.