Las condiciones de Rankine-Hugoniot , también se hace referencia como condiciones de salto Rankine-Hugoniot o relaciones Rankine-Hugoniot , describen la relación entre los estados de ambos lados de una onda de choque o una onda de combustión ( deflagración o detonación ) en un flujo unidimensional en fluidos o una deformación unidimensional en sólidos. Reciben su nombre en reconocimiento al trabajo realizado por el ingeniero y físico escocés William John Macquorn Rankine [1] y el ingeniero francés Pierre Henri Hugoniot . [2] [3]
En un sistema de coordenadas que se mueve con la discontinuidad, las condiciones de Rankine-Hugoniot se pueden expresar como: [4]
donde m es el caudal másico por unidad de área, ρ 1 y ρ 2 son la densidad másica del fluido aguas arriba y aguas abajo de la ola, u 1 y u 2 son la velocidad del fluido aguas arriba y aguas abajo de la ola, p 1 y p 2 son las presiones en las dos regiones, y h 1 y h 2 son las entalpías específicas (con el sentido de por unidad de masa ) en las dos regiones. Si además, el flujo es reactivo, entonces las ecuaciones de conservación de especies exigen que
desaparecer tanto aguas arriba como aguas abajo de la discontinuidad. Aquí,es la tasa de producción en masa de la i- ésima especie de especies de N totales involucradas en la reacción. La combinación de la conservación de la masa y el momento nos da
que define una línea recta conocida como la línea de Rayleigh, llamada así por Lord Rayleigh , que tiene una pendiente negativa (desde es siempre positivo) en el avión. Usando las ecuaciones de Rankine-Hugoniot para la conservación de masa y momento para eliminar u 1 y u 2 , la ecuación para la conservación de energía se puede expresar como la ecuación de Hugoniot:
La inversa de la densidad también se puede expresar como el volumen específico ,. Junto con estos, uno tiene que especificar la relación entre la ecuación de estado aguas arriba y aguas abajo
dónde es la fracción de masa de la especie. Finalmente, la ecuación calorífica de estado se supone que es conocido, es decir,
Relaciones simplificadas de Rankine-Hugoniot [5]
Se hacen las siguientes suposiciones para simplificar las ecuaciones de Rankine-Hugoniot. Se supone que la mezcla obedece a la ley de los gases ideales , por lo que la relación entre la ecuación de estado aguas abajo y aguas arriba se puede escribir como
dónde es la constante universal de los gases y el peso molecular medio se supone que es constante (de lo contrario, dependería de la fracción de masa de todas las especies). Si se supone que el calor específico a presión constante también es constante a lo largo de la onda, el cambio en las entalpías (ecuación calorífica de estado) se puede escribir simplemente como
donde el primer término en la expresión anterior representa la cantidad de calor liberado por unidad de masa de la mezcla aguas arriba por la ola y el segundo término representa el calentamiento sensible. Eliminando la temperatura usando la ecuación de estado y sustituyendo la expresión anterior para el cambio de entalpías en la ecuación de Hugoniot, se obtiene una ecuación de Hugoniot expresada solo en términos de presión y densidades,
dónde es la proporción de calor específico . Curva de Hugoniot sin liberación de calor () a menudo se llama Shock Hugoniot. Junto con la ecuación de la línea de Rayleigh, la ecuación anterior determina completamente el estado del sistema. Estas dos ecuaciones se pueden escribir de forma compacta introduciendo las siguientes escalas adimensionales,
La ecuación de la recta de Rayleigh y la ecuación de Hugoniot luego se simplifica a
Dadas las condiciones aguas arriba, la intersección de las dos ecuaciones anteriores en el plano determinar las condiciones aguas abajo. Si no se produce liberación de calor, por ejemplo, ondas de choque sin reacción química, entonces. La asíntota de las curvas Hugoniot a las líneas y , es decir, el salto de presión a través de la ola puede tomar cualquier valor entre , pero la relación de volumen específica está restringida al intervalo (el límite superior se deriva para el caso porque la presión no puede tomar valores negativos). La condición de Chapman-Jouguet es donde la línea de Rayleigh es tangente a la curva de Hugoniot.
Si (gas diatómico sin la excitación del modo vibratorio), el intervalo es , en otras palabras, la onda de choque puede aumentar la densidad como máximo en un factor de 6. Para gas monoatómico, , por lo tanto, la relación de densidad está limitada por el intervalo . Para gases diatómicos con modo vibratorio excitado, tenemos que lleva al intervalo . En realidad, la relación de calor específico no es constante en la onda de choque debido a la disociación e ionización molecular, pero incluso en estos casos, la relación de densidad en general no supera el factor. [6]
Derivación de las ecuaciones de Euler
Considere el gas en un recipiente unidimensional (por ejemplo, un tubo largo y delgado). Suponga que el fluido es no viscoso (es decir, no muestra efectos de viscosidad como, por ejemplo, fricción con las paredes del tubo). Además, suponga que no hay transferencia de calor por conducción o radiación y que se puede despreciar la aceleración gravitacional. Dicho sistema puede describirse mediante el siguiente sistema de leyes de conservación , conocido como ecuaciones de Euler 1D , que en forma de conservación es:
dónde
- densidad de masa de fluido ,
- velocidad del fluido ,
- energía interna específica del fluido,
- presión de fluido , y
- es la densidad de energía total del fluido, [J / m 3 ], mientras que e es su energía interna específica
Suponga además que el gas es calóricamente ideal y que, por lo tanto, una ecuación de estado politrópica de la forma simple
es válido, donde es la relación constante de calores específicos . Esta cantidad también aparece como el exponente politrópico del proceso politrópico descrito por
Para obtener una lista extensa de ecuaciones de flujo compresible, etc., consulte el Informe NACA 1135 (1953). [7]
Nota: Para un gas calóricamente ideal es una constante y para un gas térmicamente ideal es una función de la temperatura. En el último caso, la dependencia de la presión sobre la densidad de masa y la energía interna puede diferir de la dada por la ecuación (4).
La condición de salto
Antes de continuar, es necesario introducir el concepto de condición de salto , una condición que se mantiene en una discontinuidad o cambio abrupto.
Considere una situación 1D donde hay un salto en la cantidad física conservada escalar , que se rige por la ley de conservación integral
para cualquier , , , y, por tanto, por ecuación diferencial parcial
para soluciones suaves. [8]
Deje que la solución muestre un salto (o choque) en , dónde y , luego
Los subíndices 1 y 2 indican condiciones justo aguas arriba y aguas abajo del salto respectivamente, es decir y .
Tenga en cuenta que para llegar a la ecuación (8) hemos utilizado el hecho de que y .
Ahora deja y , cuando tenemos y , y en el limite
donde hemos definido (la característica del sistema o velocidad de choque ), que por simple división viene dada por
La ecuación (9) representa la condición de salto para la ley de conservación (6). Una situación de choque surge en un sistema donde sus características se cruzan, y bajo estas condiciones, un requisito para una solución única de valor único es que la solución debe satisfacer la condición de admisibilidad o condición de entropía . Para aplicaciones físicamente reales, esto significa que la solución debe satisfacer la condición de entropía Lax.
dónde y representan velocidades características en condiciones aguas arriba y aguas abajo, respectivamente.
Condición de choque
En el caso de la ley de conservación hiperbólica (6), hemos visto que la velocidad del choque se puede obtener por simple división. Sin embargo, para las ecuaciones de Euler 1D (1), (2) y (3), tenemos la variable de estado vectorial y las condiciones de salto se vuelven
Las ecuaciones (12), (13) y (14) se conocen como las condiciones de Rankine-Hugoniot para las ecuaciones de Euler y se derivan haciendo cumplir las leyes de conservación en forma integral sobre un volumen de control que incluye el choque. Para esta situacionno se puede obtener por simple división. Sin embargo, puede demostrarse transformando el problema en un sistema de coordenadas móviles (estableciendo, , para eliminar ) y alguna manipulación algebraica (que implica la eliminación de de la ecuación transformada (13) utilizando la ecuación transformada (12)), que la velocidad del choque está dada por
dónde es la velocidad del sonido en el fluido en condiciones aguas arriba. [9] [10] [11] [12] [13] [14]
Shock Hugoniot y Rayleigh en sólidos
Para los choques en sólidos, una expresión de forma cerrada como la ecuación (15) no puede derivarse de los primeros principios. En cambio, las observaciones experimentales [15] indican que se puede utilizar una relación lineal [16] (llamada choque Hugoniot en el plano u s - u p ) que tiene la forma
donde c 0 es la velocidad global del sonido en el material (en compresión uniaxial), s es un parámetro (la pendiente del choque Hugoniot) obtenido a partir de ajustes a datos experimentales, y u p = u 2 es la velocidad de la partícula dentro del comprimido región detrás del frente de choque.
La relación anterior, cuando se combina con las ecuaciones de Hugoniot para la conservación de la masa y el momento, se puede utilizar para determinar el choque Hugoniot en el plano p - v , donde v es el volumen específico (por unidad de masa): [17]
También se pueden utilizar ecuaciones de estado alternativas, como la ecuación de estado de Mie-Grüneisen, en lugar de la ecuación anterior.
El choque Hugoniot describe el lugar de todos los estados termodinámicos posibles en los que puede existir un material detrás de un choque, proyectado en un plano de estado-estado bidimensional. Por lo tanto, es un conjunto de estados de equilibrio y no representa específicamente el camino a través del cual un material se transforma.
Los choques débiles son isentrópicos y el isentropo representa el camino a través del cual se carga el material desde el estado inicial al final mediante una onda de compresión con características convergentes. En el caso de choques débiles, el Hugoniot caerá directamente sobre la isentropo y se puede utilizar directamente como camino equivalente. En el caso de un choque fuerte, ya no podemos hacer esa simplificación directamente. Sin embargo, para los cálculos de ingeniería, se considera que la isentropa está lo suficientemente cerca del Hugoniot como para hacer la misma suposición.
Si el Hugoniot es aproximadamente la ruta de carga entre estados para una onda de compresión "equivalente", entonces las condiciones de salto para la ruta de carga de choque se pueden determinar trazando una línea recta entre los estados inicial y final. Esta línea se llama línea de Rayleigh y tiene la siguiente ecuación:
Límite elástico hugoniot
La mayoría de los materiales sólidos sufren deformaciones plásticas cuando se someten a fuertes golpes. El punto del choque Hugoniot en el que un material pasa de un estado puramente elástico a un estado elástico-plástico se denomina límite elástico Hugoniot (HEL) y la presión a la que tiene lugar esta transición se denomina p HEL . Los valores de p HEL pueden oscilar entre 0,2 GPa y 20 GPa. Por encima del HEL, el material pierde gran parte de su resistencia al cizallamiento y comienza a comportarse como un fluido.
Ver también
- Ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos)
- Choque polar
- Ecuación de estado de Mie-Grüneisen
- Wikilibro de Ingeniería Acústica
Referencias
- ^ Rankine, WJM (1870). "Sobre la teoría termodinámica de ondas de perturbaciones longitudinales finitas" . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 160 : 277–288. doi : 10.1098 / rstl.1870.0015 .
- ^ Hugoniot, H. (1887). "Mémoire sur la propagation des mouvements dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits (première partie) [Memoria sobre la propagación de movimientos en los cuerpos, especialmente los gases perfectos (primera parte)]" . Journal de l'École Polytechnique (en francés). 57 : 3-97.Véase también: Hugoniot, H. (1889) "Mémoire sur la propagation des mouvements dans les corps et spécialement dans les gaz parfaits (deuxième partie)" [Memoria sobre la propagación de movimientos en los cuerpos, especialmente los gases perfectos (segunda parte)], Journal de l'École Polytechnique , vol. 58, páginas 1–125.
- ^ Salas, MD (2006). "Los eventos curiosos que conducen a la teoría de las ondas de choque, conferencia invitada, 17º Simposio de Interacción de Choque , Roma , 4-8 de septiembre" (PDF) .
- ^ Williams, FA (2018). Teoría de la combustión. Prensa CRC.
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- ^ Zel'Dovich, YB y Raizer, YP (2012). Física de ondas de choque y fenómenos hidrodinámicos de alta temperatura. Corporación de mensajería.
- ^ Personal de investigación de Ames (1953), "Ecuaciones, tablas y gráficos para flujo compresible" (PDF) , Informe 1135 del Comité Asesor Nacional de Aeronáutica
- ^ Tenga en cuenta que la ley de conservación integral no podría, en general, obtenerse de la ecuación diferencial por integración sobre porque se mantiene solo para soluciones suaves.
- ^ Liepmann, HW y Roshko, A. (1957). Elementos de la dinámica de gases. Corporación de mensajería.
- ^ Landau, LD (1959). EM Lifshitz, Mecánica de fluidos. Curso de Física Teórica, 6.
- ^ Shapiro, AH (1953). La dinámica y termodinámica del flujo de un fluido compresible. John Wiley e hijos.
- ^ Anderson, JD (1990). Flujo compresible moderno: con perspectiva histórica (Vol. 12). Nueva York: McGraw-Hill.
- ^ Whitham, GB (1999). Ondas lineales y no lineales . Wiley. ISBN 978-0-471-94090-6.
- ^ Courant, R. y Friedrichs, KO (1999). Flujo supersónico y ondas de choque (Vol. 21). Springer Science & Business Media.
- ^ Ahrens, TJ (1993), "Ecuación de estado" (PDF) , High Pressure Shock Compression of Solids, Eds. JR Asay y M. Shahinpoor , Springer-Verlag, Nueva York: 75–113, doi : 10.1007 / 978-1-4612-0911-9_4 , ISBN 978-1-4612-6943-4
- ^ Aunque se asume ampliamente que se mantiene una relación lineal, los datos experimentales sugieren que casi el 80% de los materiales probados no satisfacen este comportamiento lineal ampliamente aceptado. Véase Kerley, G. I, 2006, "The Linear US-UP Relation in Shock-Wave Physics", arXiv : 1306.6916 ; para detalles.
- ^ Poirier, JP. (2008) "Introducción a la física del interior de la Tierra", Cambridge University Press.