Producto tensorial de campos
En matemáticas, el producto tensorial de dos campos es su producto tensorial como álgebras sobre un subcampo común . Si no se especifica ningún subcampo, los dos campos deben tener la misma característica y el subcampo común debe ser su subcampo principal .
El producto tensorial de dos campos es a veces un campo y, a menudo, un producto directo de campos; En algunos casos, puede contener elementos nilpotentes distintos de cero .
El producto tensorial de dos campos expresa en una sola estructura la forma diferente de incrustar los dos campos en un campo de extensión común .
Primero, se define la noción de composición de campos. Esta construcción ocurre con frecuencia en la teoría de campos . La idea detrás del compositum es hacer que el campo más pequeño contenga otros dos campos. Para definir formalmente el compositum, primero se debe especificar una torre de campos . Sea k un campo y L y K dos extensiones de k . El compositum, denotado KL , se define para ser donde el lado derecho indica la extensión generada por K y L . Tenga en cuenta que esto supone algún campo que contiene tanto K como L. O se comienza en una situación en la que un campo ambiental es fácil de identificar (por ejemplo, si K y L son ambos subcampos de los números complejos), o se demuestra un resultado que permite colocar tanto K como L (como copias isomórficas) en algún campo lo suficientemente grande.
En muchos casos se puede identificar K . L como un espacio vectorial producto tensorial , tomada sobre el campo N que es la intersección de K y L . Por ejemplo, si uno está junto a √2 el campo racional para obtener K , y √3 para obtener L , es cierto que el campo H obtiene como K . L dentro de los números complejos es ( hasta isomorfismo)
como un espacio vectorial terminado . (Este tipo de resultado se puede verificar, en general, utilizando la teoría de ramificación de la teoría algebraica de números ).