En matemáticas , el producto tensorial V ⊗ W de dos espacios vectoriales V y W (sobre el mismo campo ) es un espacio vectorial que se puede considerar como el espacio de todos los tensores que se pueden construir a partir de vectores de sus espacios constituyentes utilizando un adicional operación que puede considerarse como una generalización y abstracción del producto exterior . Debido a la conexión con los tensores, que son los elementos de un producto tensorial, los productos tensoriales encuentran usos en muchas áreas de aplicación, incluidas la física y la ingeniería, aunque la mecánica teórica completa de los mismos que se describe a continuación puede que no se cite comúnmente allí. Por ejemplo, en la relatividad general , el campo gravitacional se describe a través del tensor métrico , que es un campo (en el sentido de la física) de tensores, uno en cada punto de la variedad espacio-tiempo, y cada uno de los cuales vive en el tensor. autoproducto de los espacios tangentes T x M en su punto de residencia en la variedad (tal colección de productos tensoriales unidos a otro espacio se llama conjunto tensorial ).
Tensores en dimensiones finitas y el producto exterior
El concepto de producto tensorial generaliza la idea de formar tensores a partir de vectores usando el producto externo, que es una operación que se puede definir en espacios vectoriales de dimensión finita usando matrices : dados dos vectores v ∈ V y w ∈ W escritos en términos de componentes , es decir
y
su producto exterior o Kronecker viene dado por
o, en términos de elementos, el i ' j -ésimo componente es
. La matriz así formada corresponde naturalmente a un tensor, entendiendo éste como un funcional multilineal , al intercalarlo con la multiplicación de matrices entre un vector y su dual , o transposición:
Es importante tener en cuenta que el tensor, tal como está escrito, toma dos vectores duales ; este es un punto importante que se abordará más adelante. En el caso de dimensiones finitas, no hay una distinción fuerte entre un espacio y su dual, sin embargo, sí importa en dimensiones infinitas y, además, acertar la parte regular vs dual es esencial para asegurar que la idea de tensores que se están desarrollando aquí corresponde correctamente a otros sentidos en los que se ven, como en términos de transformaciones, que es común en la física.
Los tensores construidos de esta manera generan un espacio vectorial ellos mismos cuando los sumamos y escalamos de la manera natural por componentes y, de hecho, todos los funcionales multilineales del tipo dado pueden escribirse como una suma de productos externos, que podemos llamar tensores puros o tensores simples . Esto es suficiente para definir el producto tensorial cuando podemos escribir vectores y transformaciones en términos de matrices, sin embargo, para obtener una operación completamente general, se requerirá un enfoque más abstracto. Especialmente, nos gustaría aislar las "características esenciales" del producto tensorial sin tener que especificar una base particular para su construcción, y eso es lo que haremos en las siguientes secciones.
Resumen del producto tensorial
Para lograr ese objetivo, la forma más natural de proceder es intentar aislar una propiedad caracterizante esencial que describirá, de todos los espacios vectoriales posibles que podríamos construir a partir de V y W , el que (hasta el isomorfismo ) es su producto tensorial. , y que se aplicará sin tener en cuenta ninguna elección arbitraria, como la elección de la base. Y la forma de hacerlo es voltear el concepto de tensor "de adentro hacia afuera": en lugar de ver los tensores como un objeto que actúa sobre los vectores a la manera de un mapa bilineal, los veremos como objetos sobre los que se actuará para producir un mapa bilineal. El truco está en reconocer que el producto Kronecker " conserva toda la información " sobre qué vectores entraron en él: las proporciones de los componentes del vector se pueden derivar de
ya partir de esas proporciones, los propios componentes individuales se recuperaron. Como resultado, se puede usar un solo producto externo de Kronecker en lugar del par ( v , w ) de vectores que lo formaron, y viceversa. Lo más importante es que esto significa que podemos escribir cualquier mapa bilineal f : V × W → Z , para cualquier tercer espacio vectorial Z , como un mapa unilineal f T : V ⊗ W → Z donde
La propiedad universal , entonces, es que si tenemos la operación de combinación ⊗, y se nos da cualquier mapa bilineal de la forma mencionada, hay exactamente uno de esos f T que cumple con este requisito. Esto no es difícil de ver si expandimos en términos de bases, pero el punto más importante es que puede usarse como una forma de caracterizar el producto tensorial, es decir, podemos usarlo para definir el producto tensorial axiomáticamente con ninguna referencia a tales. Sin embargo, antes de que podamos hacer eso, primero debemos mostrar que el producto tensorial existe y es único para todos los espacios vectoriales V y W y, para hacer eso, necesitamos una construcción.
El producto tensorial constructivo
El espacio vectorial libre
Para realizar tal construcción, el primer paso que consideraremos implica introducir algo llamado " espacio vectorial libre " sobre un conjunto dado. El impulso de esta idea consiste básicamente en intentar que consta de lo que dijimos en el primer apartado anterior: ya que un tensor genérico se puede escribir por la doble suma
La forma más natural de abordar este problema es de alguna manera averiguar cómo podemos "olvidarnos" de la elección específica de las bases. y que se utilizan aquí. En matemáticas, la forma en que nos "olvidamos" de los detalles representacionales de algo es establecer una identificación que nos diga que dos cosas diferentes que deben ser consideradas representaciones de la misma cosa son de hecho tales, es decir, que, dado que dicen "sí" , son "o" no, no lo son ", y luego" agrupan "todas las representaciones como constituyendo la" cosa representada "sin referencia a ninguna en particular, empaquetándolas todas juntas en un solo conjunto. En términos formales, primero construimos una relación de equivalencia y luego tomamos el cociente establecido por esa relación.
Pero antes de que podamos hacer eso, primero debemos desarrollar de qué vamos a asumir la relación de equivalencia. La forma en que lo hacemos es abordar esto al revés, desde "de abajo hacia arriba": dado que no se nos garantiza una base, al menos constructible, cuando partimos de espacios vectoriales arbitrarios, podríamos intentar comenzar garantizando que tenemos uno, es decir, comenzaremos primero por considerar una "base", por sí sola, como está dada, y luego construiremos el espacio vectorial en la parte superior. Con ese fin, logramos lo siguiente: supongamos quees un conjunto, que podríamos llamar un conjunto de bases abstractas . Ahora considere todas las expresiones formales de la forma
de longitud arbitraria, pero finita y por cual son escalares y son miembros de . Intuitivamente, esta es una combinación lineal de los vectores base en el sentido habitual de expandir un elemento de un espacio vectorial. A esto lo llamamos una "expresión formal" porque técnicamente es ilegal multiplicarya que no hay una operación de multiplicación definida por defecto en un conjunto arbitrario y un campo arbitrario de escalares. En su lugar, "fingiremos" (similar a definir los números imaginarios ) que esto se refiere a algo, y luego lo manipularemos de acuerdo con las reglas que esperamos para un espacio vectorial, por ejemplo, la suma de dos cadenas de este tipo usando la misma secuencia. de miembros de es
donde hemos utilizado las leyes asociativas , conmutativas y distributivas para reordenar la primera suma en la segunda. Continuar de esta manera para múltiplos escalares y todas las combinaciones de vectores de diferentes longitudes nos permite construir una suma vectorial y una multiplicación escalar en este conjunto de expresiones formales, y lo llamamos espacio vectorial libre sobre, escritura . Tenga en cuenta que los elementos de, consideradas como expresiones formales de longitud uno con coeficiente 1 al frente, forman una base de Hamel para este espacio.
La expresión del producto tensorial se abstrae luego considerando que si y representar "vectores de base abstracta" de dos conjuntos y , es decir, que "" y "", luego pares de estos en el producto cartesiano , es decir se toman en representación de los productos tensoriales . (Tenga en cuenta que los productos tensoriales en la expresión son en cierto sentido "atómicos", es decir, las adiciones y multiplicaciones escalares no los dividen en nada más, por lo que podemos reemplazarlos con algo diferente sin alterar la estructura matemática). , podemos definir el producto tensorial de dos espacios vectoriales libres y como algo (aún por decidir) que es isomorfo a .
La relación de equivalencia
La definición anterior funcionará para cualquier espacio vectorial en el que podemos especificar una base, ya que sólo podemos reconstruir como el espacio vectorial libre sobre esa base: la construcción anterior refleja exactamente la forma de representarse a través de vectores de la construcción base de Hamel por diseño. En efecto, no hemos ganado nada ... hasta que hagamos esto.
Ahora, no asumimos acceso a bases para espacios vectoriales y que queremos formar el producto tensorial de. En su lugar, vamos a tomar todo de y como "base" para construir los tensores. Esta es la mejor opción y la única cosa que estamos garantizados que podremos hacer, independientemente de cualquier preocupación por encontrar una base específica; esto corresponde a sumar productos externos arbitrariosde vectores arbitrarios en la última parte de la sección "Motivación intuitiva". La única diferencia aquí es que si usamos la construcción de espacio vectorial libre y formamos lo obvio, tendrá muchas versiones redundantes de lo que debería ser el mismo tensor; volviendo a nuestro caso fundamentado si consideramos el ejemplo donde en la base estándar, podemos considerar que el tensor formado por los vectores y , es decir
podría también ser representado por otras sumas, tales como la suma utilizando tensores básicos individuales, p.ej
Estos, aunque son expresiones iguales en el caso concreto, corresponderían a elementos distintos del espacio vectorial libre , a saber
en el primer caso y
en el segundo caso. Por tanto, debemos condensarlos; aquí es donde entra en juego la relación de equivalencia. El truco para construirlo es tener en cuenta que dado cualquier vector en un espacio vectorial, siempre es posible representarlo como la suma de otros dos vectores y no igual al original. Si nada más, deja ser cualquier vector y luego tomar —Lo cual también muestra que si se nos da un vector y luego un segundo vector, podemos escribir el primer vector en términos del segundo junto con un tercer vector adecuado (de hecho, de muchas maneras, simplemente considere los múltiplos escalares del segundo vector en el misma resta.).
Esto es útil para nosotros porque el producto externo satisface las siguientes propiedades de linealidad, que se pueden probar mediante álgebra simple en las expresiones matriciales correspondientes:
Si queremos relacionar el producto exterior decir, , podemos usar la primera relación anterior junto con una expresión adecuada de como una suma de algún vector y algún múltiplo escalar de .
Entonces se obtiene la igualdad entre dos tensores concretos si el uso de las reglas anteriores nos permite reordenar una suma de productos externos en el otro mediante la descomposición adecuada de vectores, independientemente de si tenemos un conjunto de vectores base reales. Aplicando eso a nuestro ejemplo anterior, vemos que, por supuesto, tenemos
para qué sustitución en
Nos da
y el uso juicioso de las propiedades de distributividad nos permite reordenar a la forma deseada. Asimismo, existe una manipulación "espejo" correspondiente en términos de los elementos del espacio vectorial libre y , , etc., y esto finalmente nos lleva a la definición formal del producto tensorial.
Juntando toda la construcción
El producto tensorial abstracto de dos espacios vectoriales y sobre un campo base común es el cociente del espacio vectorial
dónde es la relación de equivalencia de la igualdad formal generada al asumir que, para cada y tomadas como expresiones formales en el espacio vectorial libre , la siguiente retención:
- Identidad .
- Simetría . implica
- Transitividad . y implica
- Distributividad. y
- Múltiplos escalares. y
y luego probar la equivalencia de expresiones formales genéricas a través de manipulaciones adecuadas basadas en ellas. [ cita requerida ] La aritmética se define en el producto tensorial eligiendo elementos representativos, aplicando las reglas aritméticas y finalmente tomando la clase de equivalencia. Además, dados dos vectores cualesquiera y , la clase de equivalencia se denota .
Propiedades
Notación
Los elementos de V ⊗ W a menudo se denominan tensores , aunque este término también se refiere a muchos otros conceptos relacionados. [1] Si v pertenece a V y w pertenece a W , entonces la clase de equivalencia de ( v , w ) se denota por v ⊗ w , que se denomina producto tensorial de v con w . En física e ingeniería, este uso del símbolo "⊗" se refiere específicamente al funcionamiento externo del producto ; el resultado del producto externo v ⊗ w es una de las formas estándar de representar la clase de equivalencia v ⊗ w . [2] Un elemento de V ⊗ W que se puede escribir en la forma v ⊗ w se llama tensor puro o simple . En general, un elemento del espacio del producto tensorial no es un tensor puro, sino una combinación lineal finita de tensores puros. Por ejemplo, si v 1 y v 2 son linealmente independientes , y w 1 y w 2 también son linealmente independientes, entonces v 1 ⊗ w 1 + v 2 ⊗ w 2 no se puede escribir como un tensor puro. El número de tensores simples requeridos para expresar un elemento de un producto tensorial se llama rango tensorial (que no debe confundirse con el orden tensorial , que es el número de espacios de los que se ha tomado el producto, en este caso 2; en notación, el número de índices), y para operadores lineales o matrices, pensados como (1, 1) tensores (elementos del espacio V ⊗ V ∗ ), concuerda con el rango de la matriz .
Dimensión
Bases Dadas { v i } y { w j } para V y W , respectivamente, los tensores { v i ⊗ w j } forman una base para V ⊗ W . Por lo tanto, si V y W son de dimensión finita, la dimensión del producto tensorial es el producto de las dimensiones de los espacios originales; por ejemplo, R m ⊗ R n es isomorfo a R mn .
Producto tensorial de mapas lineales
El producto tensorial también opera en mapas lineales entre espacios vectoriales. Específicamente, dados dos mapas lineales S : V → X y T : W → Y entre espacios vectoriales, el producto tensorial de los dos mapas lineales S y T es un mapa lineal
definido por
De esta forma, el producto tensorial pasa a ser un bifunctor de la categoría de espacios vectoriales a sí mismo, covariante en ambos argumentos. [3]
Si S y T son ambos inyectivos , sobreyectivos o (en el caso de que V , X , W e Y sean espacios vectoriales normativos o espacios vectoriales topológicos ) continuos , entonces S ⊗ T es inyectivo, sobreyectivo o continuo, respectivamente.
Al elegir las bases de todos los espacios vectoriales involucrados, los mapas lineales S y T se pueden representar mediante matrices . Entonces, dependiendo de cómo el tensorestá vectorizado, la matriz que describe el producto tensorial S ⊗ T es el producto de Kronecker de las dos matrices. Por ejemplo, si V , X , W e Y anteriores son todos bidimensionales y se han fijado las bases para todos ellos, y S y T están dados por las matrices
respectivamente, entonces el producto tensorial de estas dos matrices es
El rango resultante es como máximo 4, y por lo tanto la dimensión resultante es 4. Note que rango aquí denota el rango tensorial, es decir, el número de índices requeridos (mientras que el rango de la matriz cuenta el número de grados de libertad en la matriz resultante). Nota.
Un producto diádico es el caso especial del producto tensorial entre dos vectores de la misma dimensión.
Propiedad universal
En el contexto de los espacios vectoriales, el producto tensorial y el mapa bilineal asociado se caracterizan hasta el isomorfismo por una propiedad universal con respecto a los mapas bilineales . (Recuerde que un mapa bilineal es una función que es lineal por separado en cada uno de sus argumentos). De manera informal, es el mapa bilineal más general de .
El espacio vectorial y el mapa bilineal asociado tiene la propiedad de que cualquier mapa bilineal de a cualquier espacio vectorial factores a través de de forma única. Diciendo " factores a través de únicamente ", queremos decir que hay un mapa lineal único tal que .
Esta caracterización puede simplificar las pruebas sobre el producto tensorial. Por ejemplo, el producto del tensor es simétrico, lo que significa que hay un isomorfismo canónico :
Para construir, digamos, un mapa de a , basta con dar un mapa bilineal que mapas a . Entonces la propiedad universal de medio factores en un mapa . Un mapa en la dirección opuesta se define de manera similar, y se comprueba que los dos mapas lineales y son inversos entre sí al utilizar de nuevo sus propiedades universales.
La propiedad universal es extremadamente útil para mostrar que un mapa de un producto tensorial es inyectivo. Por ejemplo, supongamos que queremos mostrar que es isomorfo a . Dado que todos los tensores simples tienen la formay, por tanto, todos los elementos del producto tensorial tienen la forma por aditividad en la primera coordenada, tenemos un candidato natural para un isomorfismo dado por mapeo a , y este mapa es trivialmente sobreyectivo.
Mostrar directamente la inyectividad implicaría mostrar de alguna manera que no existen relaciones no triviales entre y por , lo que parece abrumador. Sin embargo, sabemos que existe un mapa bilineal dado al multiplicar las coordenadas juntas, y la propiedad universal del producto tensorial proporciona un mapa de espacios vectoriales que mapas a , y por lo tanto es una inversa del homomorfismo previamente construido, lo que implica inmediatamente el resultado deseado. Tenga en cuenta que, a priori, ni siquiera está claro que este mapa inverso esté bien definido, pero la propiedad universal y el mapa bilineal asociado juntos implican que este es el caso.
Se puede usar un razonamiento similar para mostrar que el producto tensorial es asociativo, es decir, hay isomorfismos naturales
Por tanto, se acostumbra omitir el paréntesis y escribir .
La categoría de espacios vectoriales con producto tensorial es un ejemplo de una categoría monoidal simétrica .
La definición de propiedad universal de un producto tensorial es válida en más categorías que solo la categoría de espacios vectoriales. En lugar de utilizar mapas multilineales (bilineales), la definición del producto tensorial general utiliza multimorfismos. [4]
Tensores y trenzado
Sea n un número entero no negativo. La n- ésima potencia tensorial del espacio vectorial V es el producto tensorial n- veces de V consigo mismo. Es decir
Una permutación σ del conjunto {1, 2, ..., n } determina un mapeo de la n- ésima potencia cartesiana de V de la siguiente manera:
Dejar
ser el multilineal natural de la incrustación de la potencia cartesiana de V en la fuente de tensor de V . Entonces, por la propiedad universal, hay un isomorfismo único
tal que
El isomorfismo τ σ se denomina mapa de trenzado asociado a la permutación σ .
Producto de tensores
Para no negativo números enteros r y s un tipo ( r , s ) tensor en un espacio vectorial V es un elemento de
Aquí V ∗ es el espacio vectorial dual (que consta de todos los mapas lineales f desde V al campo terrestre K ).
Hay un mapa de productos, llamado producto (tensor) de tensores [5]
Se define agrupando todos los "factores" que ocurren V juntos: escribiendo v i para un elemento de V y f i para un elemento del espacio dual,
Escoger una base de V y la base dual correspondiente de V ∗ naturalmente induce una base para Tr
s( V ) (esta base se describe en el artículo sobre productos Kronecker ). En términos de estas bases, se pueden calcular los componentes de un (tensor) producto de dos (o más) tensores . Por ejemplo, si F y G son dos covariantes tensores de órdenes de m y n , respectivamente (es decir, F ∈ T 0
my G ∈ T 0
n), entonces los componentes de su producto tensorial están dados por [6]
Por tanto, las componentes del producto tensorial de dos tensores son el producto ordinario de las componentes de cada tensor. Otro ejemplo: sea U un tensor de tipo (1, 1) con componentes U α β , y sea V un tensor de tipo (1, 0) con componentes V γ . Luego
y
Los tensores equipados con su operación de producto forman un álgebra , llamada álgebra tensorial .
Mapa de evaluación y contracción tensorial
Para tensores de tipo (1, 1) hay un mapa de evaluación canónico
definido por su acción sobre tensores puros:
De manera más general, para tensores de tipo ( r , s ) , con r , s > 0 , existe un mapa, llamado contracción tensorial ,
(Se deben especificar las copias de V y V * en las que se aplicará este mapa).
Por otro lado, si V es de dimensión finita , hay un mapa canónico en la otra dirección (llamado mapa de coevaluación )
donde v 1 , ..., v n es cualquier base de V , y v i ∗ es su base dual . Este mapa no depende de la elección de la base. [7]
La interacción de evaluación y coevaluación se puede utilizar para caracterizar espacios vectoriales de dimensión finita sin hacer referencia a bases. [8]
Representación adjunta
El producto tensorial puede verse naturalmente como un módulo para el álgebra de Lie Fin ( V ) por medio de la acción diagonal: para simplificar, supongamos que r = s = 1 , entonces, para cada u ∈ Fin ( V ) ,
donde u ∗ en End ( V ∗ ) es la transpuesta de u , es decir, en términos del apareamiento obvio en V ⊗ V ∗ ,
- .
Hay un isomorfismo canónico dada por
Bajo este isomorfismo, cada u en End ( V ) puede verse primero como un endomorfismo dey luego visto como un endomorfismo de Fin ( V ) . De hecho, es la representación adjunta ad ( u ) de Fin ( V ) .
Relación del producto tensorial con Hom
Dados dos espacios vectoriales de dimensión finita U , V sobre el mismo campo K , denote el espacio dual de U como U * , y el espacio vectorial K de todos los mapas lineales de U a V como Hom ( U , V ) . Hay un isomorfismo,
definido por una acción del tensor puro en un elemento de ,
Su "inverso" se puede definir utilizando una base y su doble base como en la sección " Mapa de evaluación y contracción del tensor " anterior:
Este resultado implica
que da automáticamente el hecho importante de que forma una base para dónde son bases de U y V .
Además, dados tres espacios vectoriales U , V , W , el producto del tensor está vinculado al espacio vectorial de todos los mapas lineales, de la siguiente manera:
Este es un ejemplo de functores adjuntos : el producto tensorial es "adjunto izquierdo" a Hom.
Productos tensores de módulos sobre un anillo
El producto tensorial de dos módulos A y B sobre un anillo conmutativo R se define exactamente de la misma manera que el producto tensorial de espacios vectoriales sobre un campo:
donde ahora F ( A × B ) es el módulo R libre generado por el producto cartesiano y G es el módulo R generado por las mismas relaciones que arriba .
De manera más general, el producto tensorial se puede definir incluso si el anillo no es conmutativo . En este caso, A tiene que ser un módulo R derecho y B es un módulo R izquierdo , y en lugar de las dos últimas relaciones anteriores, la relación
es impuesto. Si R no es conmutativo, ya no es un módulo R , sino simplemente un grupo abeliano .
La propiedad universal también se traslada, ligeramente modificada: el mapa φ : A × B → A ⊗ R B definido por ( a , b ) ↦ a ⊗ b es un mapa lineal medio (denominado "el mapa lineal medio canónico"). [9] ); es decir, satisface: [10]
Las dos primeras propiedades hacen φ un mapa bilineal del grupo abeliano A × B . Para cualquier mapa lineal medio ψ de A × B , un homomorfismo de grupo único f de A ⊗ R B satisface ψ = f ∘ φ , y esta propiedad determinadentro del isomorfismo de grupo. Consulte el artículo principal para obtener más detalles.
Producto tensorial de módulos sobre un anillo no conmutativo
Sea A un módulo R derecho y B un módulo R izquierdo . Entonces el producto tensorial de A y B es un grupo abeliano definido por
dónde es un grupo abeliano libre sobre y G es el subgrupo de generado por relaciones
La propiedad universal se puede enunciar de la siguiente manera. Sea G un grupo abeliano con un mapa que es bilineal, en el sentido de que
Entonces hay un mapa único tal que para todos y .
Además, podemos dar una estructura de módulo bajo algunas condiciones adicionales:
- Si A es un bimódulo ( S , R ), entonceses un módulo S izquierdo donde.
- Si B es un bimódulo ( R , S ), entonceses un módulo S derecho donde.
- Si A es un bimódulo ( S , R ) y B es un bimódulo ( R , T ), entonceses un ( S , T ) -bimodule, donde las acciones izquierda y derecha se definen de la misma manera que los dos ejemplos anteriores.
- Si R es un anillo conmutativo, entonces A y B son ( R , R ) -bimódulos donde y . Por 3), podemos concluires un bimódulo ( R , R ).
Calcular el producto tensorial
Para los espacios vectoriales, el producto tensorial V ⊗ W se calcula rápidamente ya que las bases de V de W determinan inmediatamente una base de V ⊗ W , como se mencionó anteriormente. Para los módulos sobre un anillo general (conmutativo), no todos los módulos son gratuitos. Por ejemplo, Z / n Z no es un grupo abeliano libre ( módulo Z ). El producto tensorial con Z / n Z viene dado por
De manera más general, dada una presentación de algún módulo R M , es decir, un número de generadores m i ∈ M , i ∈ I junto con relaciones
el producto tensorial se puede calcular como el siguiente cokernel :
Aquí N J = ⨁ j ∈ J N , y el mapa N J → N I se determina enviando algunos n ∈ N en la j- ésima copia de N J a un ji n (en N I ). Coloquialmente, esto puede ser reformulada diciendo que una presentación de M da lugar a una presentación de M ⊗ R N . Se hace referencia a esto diciendo que el producto tensorial es un funtor exacto derecho . En general, no es exacto a la izquierda, es decir, dado un mapa inyectivo de R -módulos M 1 → M 2 , el producto tensorial
no suele ser inyectable. Por ejemplo, tensar el mapa (inyectivo) dado por la multiplicación con n , n : Z → Z con Z / n Z produce el mapa cero 0: Z / n Z → Z / n Z , que no es inyectivo. Los functores de Tor superiores miden el defecto del producto tensor no quedando exacto. Todos los functores Tor superiores se ensamblan en el producto tensorial derivado .
Producto tensorial de álgebras
Sea R un anillo conmutativo. El producto tensorial de los R -módulos se aplica, en particular, si A y B son R -álgebras . En este caso, el producto tensorial A ⊗ R B es un R -álgebra en sí mismo poniendo
Por ejemplo,
Un ejemplo particular es cuando A y B son campos que contienen un subcampo R común . El producto tensorial de campos está estrechamente relacionado con la teoría de Galois : si, digamos, A = R [ x ] / f ( x ) , donde f es un polinomio irreducible con coeficientes en R , el producto tensorial se puede calcular como
donde ahora f se interpreta como el mismo polinomio, pero con sus coeficientes considerados como elementos de B . En el campo más grande B , el polinomio puede volverse reducible, lo que trae la teoría de Galois. Por ejemplo, si A = B es una extensión de Galois de R , entonces
es isomorfo (como un álgebra A ) al grado A ( f ) .
Configuraciones propias de tensores
Matrices cuadradas con entradas en un campo representar mapas lineales de espacios vectoriales , digamosy, por tanto, mapas lineales de espacios proyectivos sobre. Sies no singular entoncesestá bien definido en todas partes, y los vectores propios de corresponden a los puntos fijos de . La autoconfiguración de consiste en puntos en , previsto es genérico y está algebraicamente cerrado . Los puntos fijos de los mapas no lineales son los vectores propios de los tensores. Dejar ser un -tensor dimensional de formato con entradas acostado en un campo algebraicamente cerrado de característica cero. Tal tensordefine mapas polinomiales y con coordenadas
Así, cada uno de los coordenadas de es un polinomio homogéneo de grado en . Los vectores propios de son las soluciones de la restricción
y la autoconfiguración viene dada por la variedad de menores de esta matriz. [11]
Otros ejemplos de productos tensoriales
Producto tensorial de los espacios de Hilbert
Los espacios de Hilbert generalizan los espacios vectoriales de dimensión finita a dimensiones infinitas contables . El producto tensorial aún está definido; es el producto tensorial de los espacios de Hilbert .
Producto tensor topológico
Cuando la base de un espacio vectorial ya no es contable, entonces la formalización axiomática apropiada para el espacio vectorial es la de un espacio vectorial topológico . El producto tensorial aún está definido, es el producto tensorial topológico .
Producto tensorial de espacios vectoriales graduados
Algunos espacios vectoriales se pueden descomponer en sumas directas de subespacios. En tales casos, el producto tensorial de dos espacios se puede descomponer en sumas de productos de los subespacios (en analogía a la forma en que la multiplicación se distribuye sobre la suma).
Producto tensorial de representaciones
Los espacios vectoriales dotados de una estructura multiplicativa adicional se denominan álgebras . El producto tensorial de tales álgebras se describe mediante la regla de Littlewood-Richardson .
Producto tensorial de formas cuadráticas
Producto tensorial de formas multilineales
Dadas dos formas multilineales y en un espacio vectorial sobre el campo su producto tensorial es la forma multilineal
- [12]
Este es un caso especial del producto de tensores si se ven como mapas multilineales (ver también tensores como mapas multilineales ). Por tanto, los componentes del producto tensorial de formas multilineales pueden calcularse mediante el producto de Kronecker .
Producto tensorial de haces de módulos
Producto tensorial de paquetes de líneas
Producto tensorial de campos
Producto tensorial de gráficas
Cabe mencionar que, aunque se llama "producto tensorial", no es un producto tensorial de gráficos en el sentido anterior; en realidad, es el producto de la teoría de categorías en la categoría de gráficos y homomorfismos de gráficos . Sin embargo, en realidad es el producto del tensor de Kronecker de las matrices de adyacencia de los gráficos. Compare también la sección Producto tensorial de mapas lineales anterior.
Categorías monoidales
La configuración más general para el producto tensor es la categoría monoidal . Captura la esencia algebraica de la tensión, sin hacer ninguna referencia específica a lo que se tensa. Por tanto, todos los productos tensoriales pueden expresarse como una aplicación de la categoría monoidal a algún escenario particular, actuando sobre algunos objetos particulares.
Álgebras de cocientes
Se pueden construir varios subespacios importantes del álgebra tensorial como cocientes : estos incluyen el álgebra exterior , el álgebra simétrica , el álgebra de Clifford , el álgebra de Weyl y el álgebra envolvente universal en general.
El álgebra exterior se construye a partir del producto exterior . Dado un espacio vectorial V , el producto exterior Se define como
Tenga en cuenta que cuando el campo subyacente de V no tiene la característica 2, esta definición es equivalente a
La imagen de en el exterior el producto se suele denotar y satisface, por construcción, . Son posibles construcciones similares para( n factores), dando lugar a, El n º potencia exterior de V . La última noción es la base de n- formas diferenciales .
El álgebra simétrica se construye de manera similar, a partir del producto simétrico
Más generalmente
Es decir, en el álgebra simétrica se pueden intercambiar dos vectores adyacentes (y por lo tanto todos ellos). Los objetos resultantes se denominan tensores simétricos .
Producto tensor en programación
Lenguajes de programación de matrices
Los lenguajes de programación de matrices pueden tener este patrón integrado. Por ejemplo, en APL el producto tensorial se expresa como ○.×
(por ejemplo A ○.× B
o A ○.× B ○.× C
). En J, el producto tensorial es la forma diádica de */
(por ejemplo a */ b
o a */ b */ c
).
Tenga en cuenta que el tratamiento de J también permite la representación de algunos campos tensoriales, ya que a
y b
pueden ser funciones en lugar de constantes. Este producto de dos funciones es una función derivada, y si a
y b
son diferenciables , entonces a */ b
es diferenciable.
Sin embargo, estos tipos de notación no están presentes universalmente en los lenguajes de matriz. Otros lenguajes de matriz pueden requerir un tratamiento explícito de índices (por ejemplo, MATLAB ) y / o pueden no admitir funciones de orden superior como la derivada jacobiana (por ejemplo, Fortran / APL).
Ver también
- Producto diádico
- Extensión de escalares
- Categoría monoidal - Categoría que admite productos tensoriales
- Álgebra tensorial : construcción universal en álgebra multilineal
- Contracción del tensor
- Producto de tensor topológico : construcciones de productos de tensor para espacios vectoriales topológicos
Notas
- ^ Ver Tensor o Tensor (definición intrínseca) .
- ^ Esto es similar a cómo el uso de ingeniería de ""devuelve específicamente el resto, uno de los muchos elementos de la clase de equivalencia.
- ^ Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Álgebras, anillos y módulos . Saltador. pag. 100. ISBN 978-1-4020-2690-4.
- ^ "Copia archivada" . Archivado desde el original el 2 de septiembre de 2017 . Consultado el 2 de septiembre de 2017 .Mantenimiento de CS1: copia archivada como título ( enlace )[ fuente generada por el usuario ]
- ^ Bourbaki (1989) , p. 244 define el uso de "tensor de productos de x y y ", elementos de los respectivos módulos.
- ^ Las fórmulas análogas también son válidas paratensores contravariantes , así como para tensores de varianza mixta. Aunque en muchos casos, como cuando hay un producto interno definido, la distinción es irrelevante.
- ^ "La coevaluación de espacios vectoriales" . El matemático sin complejos . 2008-11-13. Archivado desde el original el 2 de febrero de 2017 . Consultado el 26 de enero de 2017 .
- ^ Ver categoría compacta cerrada .
- ^ Hungerford, Thomas W. (1974). Álgebra . Saltador. ISBN 0-387-90518-9.
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