Una curva hiperelíptica real del género g sobre K se define mediante una ecuación de la forma dónde tiene un grado no mayor que g +1 mientrasdebe tener grado 2 g +1 o 2 g +2. Esta curva es una curva no singular donde ningún puntoen el cierre algebraico de satisface la ecuación de la curva y ambas ecuaciones derivadas parciales: y . El conjunto de (finito)–Los puntos racionales en C están dados por
dónde es el conjunto de puntos en el infinito. Para curvas hiperelípticas reales, hay dos puntos en el infinito, y . Por cualquier punto , el punto opuesto de es dado por ; es el otro punto con la coordenada x a que también se encuentra en la curva. En la curva hiperelíptica real, la suma ya no se define en los puntos como en las curvas elípticas, sino en los divisores y el jacobiano . Dejarser una curva hiperelípticas de género g sobre un campo finito K . Un divisor en es una suma finita formal de puntos en . Nosotros escribimos
dónde y para casi todos . El grado de es definido por
se dice que se define sobre Si para todos los automorfismos σ de encima . El conjunto de divisores de definido sobre forma un grupo abeliano aditivo bajo la regla de la adición El conjunto de todos los divisores de grado cero de definido sobre es un subgrupo de .
Tomamos un ejemplo:
Dejar y . Si los agregamos entonces. El grado de es y el grado de es . Luego,
Para polinomios , el divisor de es definido por
Si la función tiene un poste en un punto luego es el orden de desaparición de a . Asumir son polinomios en ; el divisor de la función racional se llama divisor principal y se define por . Denotamos el grupo de divisores principales por , es decir, . El jacobiano de encima es definido por . El grupo de factores también se llama el grupo de clase divisor de . Los elementos que se definen sobre formar el grupo . Denotamos por la clase de en . Hay dos formas canónicas de representar clases de divisores para curvas hiperelípticas reales que tienen dos puntos infinitos . El primero es representar un divisor de grado cero por tal que , dónde ,, y Si El representante de Entonces se llama semi reducido. Si satisface la condición adicional luego el representante se llama reducido. [1] Tenga en cuenta queestá permitido para algunos i . De ello se deduce que cada clase divisor de grado 0 contiene un representante único con
dónde es divisor que es coprime con ambos y , y . La otra representación está equilibrada en el infinito. Dejar, tenga en cuenta que este divisor es -racional incluso si los puntos y no lo son de forma independiente. Escribe al representante de la clase. como , dónde se llama la parte afín y no contiene y , y deja . Si es incluso entonces
Si es extraño entonces
Por ejemplo, supongamos que las partes afines de dos divisores estén dadas por - y
entonces los divisores balanceados son
- y
Dejar ser una curva cuadrática real sobre un campo . Si existe un divisor primo ramificado de grado 1 enentonces podemos realizar una transformación biracional a una curva cuadrática imaginaria. Se dice que un punto (finito o infinito) está ramificado si es igual a su propio opuesto. Esto significa que, es decir, que . Si se ramifica entonces es un divisor primo ramificado. [2]
La curva hiperelíptica real de género con un ramificado -punto finito racional es biracionalmente equivalente a un modelo imaginario de género , es decir y los campos de función son iguales . [3] Aquí:
y | | ( i ) |
En nuestro ejemplo dónde , h ( x ) es igual a 0. Para cualquier punto, es igual a 0, por lo que el requisito de ramificación de P se convierte en. Sustituyendo y , obtenemos , dónde , es decir, .
De ( i ), obtenemos y . Para g = 2, tenemos.
Por ejemplo, deja luego y , obtenemos
Para eliminar los denominadores esta expresión se multiplica por , luego:
dando la curva dónde es una curva cuadrática imaginaria ya que tiene grado .