En matemáticas , particularmente en álgebra abstracta , un cierre algebraico de un campo K es una extensión algebraica de K que está algebraicamente cerrado . Es uno de los muchos cierres en matemáticas.
Usando el lema de Zorn [1] [2] [3] o el lema de ultrafiltro más débil , [4] [5] se puede demostrar que cada campo tiene un cierre algebraico , y que el cierre algebraico de un campo K es único hasta un isomorfismo que correcciones de cada miembro de K . Debido a esta singularidad esencial, a menudo hablamos de la clausura algebraica de K , en lugar de una clausura algebraica de K .
La clausura algebraica de un campo K puede ser considerado como la mayor extensión algebraica de K . Para ver esto, nota que si L es cualquier extensión algebraica de K , entonces el cierre algebraica de L es también un cierre algebraica de K , y así L está contenido dentro del cierre algebraica de K . El cierre algebraica de K es también el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene K , porque si M es cualquier campo algebraicamente cerrado que contiene K , a continuación, los elementos de M que son algebraico sobre K forman un cierre algebraica de K .
El cierre algebraico de un campo K tiene la misma cardinalidad que K si K es infinito, y es numerablemente infinito si K es finito. [3]
Ejemplos de
- El teorema fundamental del álgebra establece que el cierre algebraico del campo de los números reales es el campo de los números complejos .
- El cierre algebraico del campo de los números racionales es el campo de los números algebraicos .
- Hay muchos campos contables cerrados algebraicamente dentro de los números complejos y que contienen estrictamente el campo de los números algebraicos; estos son los cierres algebraicos de extensiones trascendentales de los números racionales, por ejemplo, el cierre algebraico de Q (π).
- Para un campo finito de orden de potencia prima q , el cierre algebraico es un campo infinito numerable que contiene una copia del campo de orden q n para cada entero positivo n (y de hecho es la unión de estas copias). [6]
Existencia de un cierre algebraico y campos de división.
Dejar ser el conjunto de todos los polinomios mónicos irreducibles en K [ x ]. Para cada, introducir nuevas variables dónde . Sea R el anillo polinomial sobre K generado por para todos y todo . Escribir
con . Sea yo el ideal en R generado por el. Dado que es estrictamente menor que R , lema de Zorn implica que existe un ideal maximal M en R que contiene I . El campo K 1 = R / M tiene la propiedad de que todo polinomiocon coeficientes en K splits como el producto dey por lo tanto tiene todas sus raíces en K 1 . De la misma manera, se puede construir una extensión K 2 de K 1 , etc. La unión de todas estas extensiones es el cierre algebraico de K , porque cualquier polinomio con coeficientes en este nuevo campo tiene sus coeficientes en algún K n con n , y luego sus raíces están en K n + 1 , y por lo tanto en la unión misma.
Se puede demostrar a lo largo de las mismas líneas que para cualquier subconjunto S de K [ x ], existe un cuerpo de descomposición de S sobre K .
Cierre separable
Un cierre algebraico K alg de K contiene una extensión separable única K sep de K que contiene todas las extensiones separables (algebraicas) de K dentro de K alg . Este subextension se llama un cierre separable de K . Dado que una extensión separable de una extensión separable es de nuevo separable, no hay extensiones separables finitas de K sep , de grado> 1. Dicho esto de otra manera, K está contenido en un campo de extensión algebraico cerrado separablemente . Es único ( hasta isomorfismo). [7]
El cierre separable es el cierre algebraico completo si y solo si K es un campo perfecto . Por ejemplo, si K es un campo de característica py si X es trascendental sobre K , es una extensión de campo algebraico no separable.
En general, el grupo de Galois absoluto de K es el grupo de Galois de K septiembre sobre K . [8]
Ver también
Referencias
- ^ McCarthy (1991) p.21
- ^ MF Atiyah e IG Macdonald (1969). Introducción al álgebra conmutativa . Compañía editorial de Addison-Wesley. págs. 11-12.
- ^ a b Kaplansky (1972) págs. 74-76
- ^ Banaschewski, Bernhard (1992), "Cierre algebraico sin elección", Z. Math. Logik Grundlagen Math. , 38 (4): 383–385, doi : 10.1002 / malq.19920380136 , Zbl 0739.03027
- ^ Discusión de Mathoverflow
- ^ Brawley, Joel V .; Schnibben, George E. (1989), "2.2 El cierre algebraico de un campo finito", Extensiones algebraicas infinitas de campos finitos , Matemáticas contemporáneas, 95 , American Mathematical Society , págs. 22-23, ISBN 978-0-8218-5428-0, Zbl 0674.12009.
- ^ McCarthy (1991) p.22
- ^ Fried, Michael D .; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campo . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 11 (3ª ed.). Springer-Verlag . pag. 12. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001 .
- Kaplansky, Irving (1972). Campos y anillos . Conferencias de Chicago en matemáticas (Segunda ed.). Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 0-226-42451-0. Zbl 1001.16500 .
- McCarthy, Paul J. (1991). Extensiones algebraicas de campos (Reimpresión corregida de la 2ª ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. Zbl 0768.12001 .