AR Forouhi e I. Bloomer dedujeron ecuaciones de dispersión para el índice de refracción, n , y el coeficiente de extinción, k , que se publicaron en 1986 [1] y 1988. [2] La publicación de 1986 se refiere a materiales amorfos, mientras que la publicación de 1988 se refiere a cristalino. Posteriormente, en 1991, su trabajo se incluyó como un capítulo en "El Manual de Constantes Ópticas". [3] Las ecuaciones de dispersión de Forouhi-Bloomer describen cómo los fotones de energías variables interactúan con las películas delgadas. Cuando se utiliza con una herramienta de reflectometría espectroscópica , las ecuaciones de dispersión de Forouhi-Bloomer especifican n y kpara materiales amorfos y cristalinos en función de la energía del fotón E . Los valores de n y k en función de la energía de los fotones, E , se denominan espectros de n y k , que también se pueden expresar como funciones de la longitud de onda de la luz, λ, ya que E = hc / λ . El símbolo h representa la constante de Planck y c , la velocidad de la luz en el vacío. Juntos, n y k a menudo se denominan "constantes ópticas" de un material (aunque no son constantes ya que sus valores dependen de la energía de los fotones).
La derivación de las ecuaciones de dispersión de Forouhi-Bloomer se basa en obtener una expresión para k en función de la energía fotónica, simbólicamente escrita como k (E), partiendo de los primeros principios de la mecánica cuántica y la física del estado sólido. Una expresión para n en función de la energía del fotón, simbólicamente escrita como n (E), se determina a partir de la expresión para k (E) de acuerdo con las relaciones de Kramers-Kronig [4] que establece que n (E) es el Transformada de Hilbert de k (E).
Las ecuaciones de dispersión de Forouhi-Bloomer para n (E) y k (E) de materiales amorfos se dan como:
Los cinco parámetros A, B, C, E g y n (∞) tienen cada uno un significado físico. [1] [3] E g es la banda prohibida de energía óptica del material. A, B y C dependen de la estructura de la banda del material. Son constantes positivas tales que 4C-B 2 > 0. Finalmente, n (∞), una constante mayor que la unidad, representa el valor de n en E = ∞. Los parámetros B 0 y C 0 en la ecuación para n (E) no son parámetros independientes, sino que dependen de A, B, C y E g . Están dados por:
dónde
Por lo tanto, para los materiales amorfos, un total de cinco parámetros son suficientes para describir completamente la dependencia de n y k de la energía fotónica, E.
Para materiales cristalinos que tienen múltiples picos en sus espectros n y k , las ecuaciones de dispersión de Forouhi-Bloomer se pueden ampliar de la siguiente manera:
El número de términos en cada suma, q, es igual al número de picos en el n y k espectros del material. Cada término de la suma tiene sus propios valores de los parámetros A, B, C, E g , así como sus propios valores de B 0 y C 0 . De manera análoga al caso amorfo, todos los términos tienen un significado físico. [2] [3]
Caracterización de películas delgadas
El índice de refracción ( n ) y el coeficiente de extinción ( k ) están relacionados con la interacción entre un material y la luz incidente, y están asociados con la refracción y la absorción (respectivamente). Pueden considerarse como la "huella dactilar del material". Los recubrimientos de material de película delgada en varios sustratos proporcionan funcionalidades importantes para la industria de la microfabricación , y se debe medir el n , k , así como el espesor, t , de estos constituyentes de película delgada. y controlados para permitir una fabricación repetible .
Originalmente se esperaba que las ecuaciones de dispersión de Forouhi-Bloomer para n y k se aplicaran a semiconductores y dieléctricos, ya sea en estados amorfo, policristalino o cristalino. Sin embargo, se ha demostrado que describen los espectros n y k de conductores transparentes, [5] así como compuestos metálicos. [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] Se encontró que el formalismo para materiales cristalinos también se aplica a los polímeros, [16] [17] [ 18] que constan de largas cadenas de moléculas que no forman una estructura cristalográfica en el sentido clásico.
En la bibliografía se pueden encontrar otros modelos de dispersión que se pueden utilizar para derivar n y k , como Tauc-Lorentz. [19] [20] Dos modelos bien conocidos, Cauchy y Sellmeier, proporcionan expresiones empíricas para n válidas en un rango de medición limitado, y solo son útiles para películas no absorbentes donde k = 0. En consecuencia, la formulación de Forouhi-Bloomer se ha utilizado para medir películas delgadas en diversas aplicaciones. [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20]
En las siguientes discusiones, todas las variables de energía fotónica, E , se describirán en términos de longitud de onda de la luz, λ, ya que experimentalmente las variables que involucran películas delgadas se miden típicamente en un espectro de longitudes de onda. Los espectros n y k de una película delgada no pueden medirse directamente, sino que deben determinarse indirectamente a partir de cantidades mensurables que dependen de ellos. La reflectancia espectroscópica, R (λ ), es una de esas cantidades mensurables. Otro, es la transmitancia espectroscópica, T (λ) , aplicable cuando el sustrato es transparente. La reflectancia espectroscópica de una película delgada sobre un sustrato representa la relación entre la intensidad de la luz reflejada por la muestra y la intensidad de la luz incidente, medida en un rango de longitudes de onda, mientras que la transmitancia espectroscópica, T (λ) , representa la relación entre la intensidad. de la luz transmitida a través de la muestra hasta la intensidad de la luz incidente, medida en un rango de longitudes de onda; normalmente, también habrá una señal reflejada, R (λ) , acompañando a T (λ) .
Las cantidades medibles, R (λ) y T (λ) dependen no solo de n (λ) y k (λ) de la película, sino también del espesor de la película, t , y n (λ) y k (λ) de la sustrato. Para un sustrato de silicio, los valores de n (λ) y k (λ) son conocidos y se toman como una entrada dada. El desafío de caracterizar películas delgadas implica extraer t , n (λ) y k (λ) de la película a partir de la medición de R (λ) y / o T (λ) . Esto se puede lograr combinando las ecuaciones de dispersión de Forouhi-Bloomer para n (λ) y k (λ) con las ecuaciones de Fresnel para la reflexión y transmisión de luz en una interfaz [21] para obtener expresiones teóricas, físicamente válidas, de reflectancia y transmitancia. Al hacerlo, el desafío se reduce a extraer los cinco parámetros A, B, C, E g y n (∞) que constituyen n (λ) y k (λ) , junto con el espesor de la película, t , mediante la utilización de un análisis de regresión de mínimos cuadrados [22] [23] procedimiento de ajuste. El procedimiento de ajuste implica una mejora iterativa de los valores de A, B, C, E g , n (∞) , t , con el fin de reducir la suma de los cuadrados de los errores entre el R (λ) teórico o el T teórico ( λ) y el espectro medido de R (λ) o T (λ) .
Además de la reflectancia y transmitancia espectroscópicas, la elipsometría espectroscópica también se puede utilizar de forma análoga para caracterizar películas delgadas y determinar t , n (λ) y k (λ) .
Ejemplos de medida
Los siguientes ejemplos muestran la versatilidad de usar las ecuaciones de dispersión de Forouhi-Bloomer para caracterizar películas delgadas utilizando una herramienta basada en reflectancia espectroscópica incidente casi normal. También se utiliza una transmitancia espectroscópica casi normal cuando el sustrato es transparente. Los espectros n (λ) y k (λ) de cada película se obtienen junto con el espesor de la película, en un amplio rango de longitudes de onda, desde el ultravioleta profundo hasta el infrarrojo cercano (190–1000 nm).
En los siguientes ejemplos, la notación para la reflectancia teórica y medida en los gráficos espectrales se expresa como "R-teórico" y "R-medido", respectivamente.
A continuación se muestran esquemas que representan el proceso de medición de película delgada:
Las ecuaciones de dispersión de Forouhi-Bloomer en combinación con el análisis riguroso de ondas acopladas (RCWA) también se han utilizado para obtener información detallada del perfil (profundidad, CD, ángulo de la pared lateral) de estructuras de zanjas. Para extraer información de estructura, los datos de reflectancia de banda ancha polarizados, Rs y Rp , deben recopilarse en un amplio rango de longitudes de onda de una estructura periódica (rejilla) y luego analizarse con un modelo que incorpore las ecuaciones de dispersión de Forouhi-Bloomer y RCWA. Entradas en el modelo incluyen la rejilla de tono y n y k espectros de todos los materiales dentro de la estructura, mientras que las salidas pueden incluir Profundidad, CD en múltiples ubicaciones, e incluso ángulo de pared lateral. Los espectros n y k de dichos materiales pueden obtenerse de acuerdo con la metodología descrita en esta sección para mediciones de película delgada.
A continuación se muestran esquemas que describen el proceso de medición para estructuras de zanjas. Luego siguen ejemplos de medidas de zanjas.
Ejemplo 1: Silicio amorfo sobre sustrato de silicio oxidado (a-Si / SiO 2 / Si-Sub)
El ejemplo 1 muestra un máximo amplio en los espectros n (λ) y k (λ) de la película de a-Si, como se esperaba para materiales amorfos. A medida que un material cambia hacia la cristalinidad, el máximo amplio da paso a varios picos más nítidos en sus espectros n (λ) y k (λ) , como se demuestra en los gráficos.
Cuando la medición implica dos o más películas en una pila de películas, la expresión teórica para reflectancia debe ampliarse para incluir el n (λ) y k (λ) espectros, además de espesor, t , de cada película. Sin embargo, la regresión puede no converger a valores únicos de los parámetros, debido a la naturaleza no lineal de la expresión de reflectancia. Por tanto, es útil eliminar algunas de las incógnitas. Por ejemplo, el n (λ) y k (λ) espectros de una o más de las películas pueden ser conocidos por la literatura o las mediciones anteriores, y se mantuvo fijos (no se les permite variar) durante la regresión. Para obtener los resultados mostrados en el Ejemplo 1, se fijaron los espectros n (λ) y k (λ) de la capa de SiO 2 , y los demás parámetros, n (λ) y k (λ) de a-Si, más espesores de tanto a-Si y SiO 2 se permitió a variar.
Ejemplo 2: fotorresistencia de 248 nm sobre sustrato de silicio (PR / Si-Sub)
Los polímeros como el fotorresistente consisten en largas cadenas de moléculas que no forman una estructura cristalográfica en el sentido clásico. Sin embargo, su n (λ) y k (λ) espectros exhiben varios picos agudos en lugar de un amplio máximo esperado para materiales no cristalinos. Por lo tanto, los resultados de la medición de un polímero se basan en la formulación de Forouhi-Bloomer para materiales cristalinos. La mayor parte de la estructura en el n (λ) y k (λ) espectros se produce en el intervalo de longitud de onda UV profunda y por lo tanto a correctamente caracterizar una película de esta naturaleza, es necesario que los datos de reflectancia medidos en el rango UV profunda es exacta.
La figura muestra un ejemplo de medición de un material fotorresistente (polímero) utilizado para micro-litografía de 248 nm. Se utilizaron seis términos en las ecuaciones de Forouhi-Bloomer para materiales cristalinos para ajustar los datos y lograr los resultados.
Ejemplo 3: óxido de indio y estaño sobre sustrato de vidrio (ITO / Glass-Sub)
El óxido de indio y estaño (ITO) es un material conductor con la propiedad inusual de que es transparente, por lo que se usa ampliamente en la industria de pantallas planas. Se necesitan mediciones de reflectancia y transmitancia del sustrato de vidrio sin recubrimiento con el fin de determinar el previamente desconocido n (λ) y k (λ) espectros del vidrio. La reflectancia y transmitancia de ITO depositado sobre el mismo sustrato de vidrio se midieron simultáneamente y se analizaron utilizando las ecuaciones de Forouhi-Bloomer.
Como era de esperar, el espectro k (λ) de ITO es cero en el rango de longitud de onda visible, ya que ITO es transparente. El comportamiento del espectro k (λ) de ITO en los rangos de longitud de onda del infrarrojo cercano (NIR) e infrarrojo (IR) se asemeja al de un metal: distinto de cero en el rango NIR de 750 a 1000 nm (difícil de discernir en el gráficos ya que sus valores son muy pequeños) y alcanzando un valor máximo en el rango IR (λ> 1000 nm). El valor k promedio de la película ITO en el rango NIR e IR es 0.05.
Ejemplo 4: Análisis multiespectral de películas delgadas de germanio (40%) - selenio (60%)
Cuando se trata de películas complejas, en algunos casos los parámetros no se pueden resolver de forma única. Para restringir la solución a un conjunto de valores únicos, se puede utilizar una técnica que implica análisis multiespectral. En el caso más simple, esto implica depositar la película sobre dos sustratos diferentes y luego analizar simultáneamente los resultados utilizando las ecuaciones de dispersión de Forouhi-Bloomer.
Por ejemplo, la medición individual de la reflectancia en 190-1000 nm gama de Ge 40 Se 60 / Si no proporciona única n (λ) y k (λ) espectros de la película. Sin embargo, este problema se puede resolver depositando la misma película de Ge 40 Se 60 sobre otro sustrato, en este caso silicio oxidado, y luego analizando simultáneamente los datos de reflectancia medidos para determinar:
- Espesor de la película Ge 40 Se 60 / Si sobre el sustrato de silicio como 34,5 nm,
- Espesor de la película Ge 40 Se 60 / Si sobre el sustrato de silicio oxidado como 33,6 nm,
- Espesor de SiO 2 (con n y k espectros de SiO 2 fijos), y
- n y k espectros, en el rango de 190 a 1000 nm, de Ge 40 Se 60 / Si.
Ejemplo 5: estructura de zanja compleja
La estructura de la trinchera representada en el diagrama adyacente se repite en intervalos de 160 nm, es decir, tiene un paso dado de 160 nm. La zanja está compuesta por los siguientes materiales:
- M1: Si 3 N 4
- M2: Poli-Si
- M3: Óxido de pared lateral (SiO 2 )
- M4: SiO 2
- M5: Si 3 N 4
- M6: SiO 2
- M7: Sustrato de Si
- M8: Aire
Los valores n y k precisos de estos materiales son necesarios para analizar la estructura. A menudo, para la medición hay un área de manta en la muestra de la zanja con la película de interés. En este ejemplo, el espectro de reflectancia del polisilicio se midió en un área de manta que contenía el polisilicio, a partir del cual se determinaron sus espectros n y k de acuerdo con la metodología descrita en este artículo que utiliza las ecuaciones de dispersión de Forouhi-Bloomer. . Se utilizaron tablas fijas de valores n y k para las películas de SiO 2 y Si 3 N 4 .
Combinando los espectros n y k de las películas con el análisis riguroso de ondas acopladas (RCWA) se determinaron los siguientes parámetros críticos (con resultados medidos también):
Parámetro medido | Resultados | |
---|---|---|
1 | Si profundidad | 27,4 nanómetro |
2 | CD @ Top of Si | 26,4 nanómetro |
3 | Ancho del revestimiento de SiO 2 | 40,2 nanómetro |
4 | Si 3 N 4 Altura | 28 millas náuticas |
3 | Ancho de Poly-Si | 92,6 nanómetro |
3 | Altura de Poly-Si | 85,6 nm |
Referencias
- ^ a b Forouhi, AR; Bloomer, I. (1986). "Relaciones de dispersión óptica para semiconductores amorfos y dieléctricos amorfos". Physical Review B . 34 (10): 7018–7026. Código Bibliográfico : 1986PhRvB..34.7018F . doi : 10.1103 / physrevb.34.7018 . PMID 9939354 .
- ^ a b Forouhi, AR; Bloomer, I. (1988). "Propiedades ópticas de semiconductores cristalinos y dieléctricos". Physical Review B . 38 (3): 1865–1874. Código Bibliográfico : 1988PhRvB..38.1865F . doi : 10.1103 / physrevb.38.1865 .
- ^ a b c Forouhi, AR; Bloomer, I. (1991). Palik, ED (ed.). Manual de Constantes Ópticas II . Prensa académica. pag. Capítulo 7.
- ^ Roman, P. (1965). Teoría cuántica avanzada . Addison-Wesley.
- ^ a b Torkaman, NM; Ganjkhanlou, Y .; Kazemzad, M .; Dabaghi, HH; Keyanpour-Rad, M. (2010). "Parámetros cristalográficos y constantes electroópticas en películas finas ITO". Caracterización de materiales . 61 (3): 362–370. doi : 10.1016 / j.matchar.2009.12.020 .
- ^ a b Lakhdar, MH; Ouni, B .; Amlouk, M. (2014). "Efecto del espesor sobre las constantes ópticas y estructurales de películas delgadas de estibina preparadas por recocido por sulfuración de películas de antimonio". Optik - Revista internacional de óptica de luz y electrónica .
- ^ a b Al-Khanbashi, HA; Shirbeeny, W .; Al-Ghamdi, AA; Bronstein, LM; Mahmoud, WE (2014). "Elipsometría espectroscópica de películas delgadas de Zn1 − xCuxO basadas en una técnica de recubrimiento por inmersión de sol-gel modificada". Spectrochimica Acta Part A: Espectroscopía molecular y biomolecular . 118 : 800–805. Código Bibliográfico : 2014AcSpA.118..800A . doi : 10.1016 / j.saa.2013.09.085 . PMID 24157332 .
- ^ a b Nakamura, T .; Moriyama, T .; Nabatova-Gabain, N .; Adachi, S. (2014). "Tasa de degradación de la emisión de un emisor de luz en películas metálicas delgadas". Revista japonesa de física aplicada . 53 (4): 5201. Bibcode : 2014JaJAP..53d5201N . doi : 10.7567 / jjap.53.045201 .
- ^ a b Winkler, MT; Wang, W .; Gunawan, O .; Hovel, HJ; Todorova, TK; Mitzi, DB (2014). "Diseños ópticos que mejoran la eficiencia de las células solares Cu2ZnSn (S, Se) 4". Ciencias de la energía y el medio ambiente . 7 (3): 1029–1036. doi : 10.1039 / c3ee42541j .
- ^ a b Miao, L .; Su, LF; Tanemura, S .; Fisher, CAJ; Zhao, LL; Liang, Q .; Xu, G. (2013). "Recubrimientos nanoporosos rentables de SiO2 – TiO2 en sustratos de vidrio con propiedades antirreflectantes y autolimpiantes". Energía aplicada . 112 : 1198–1205. doi : 10.1016 / j.apenergy.2013.03.043 .
- ^ a b Zhang, F .; Zhang, RJ; Zhang, DX; Wang, ZY; Xu, JP; Zheng, YX; Chen, LY; Huang, RZ; Sun, Y .; Chen, X .; Meng, XJ ; Dai, N. (2013). "Propiedades ópticas dependientes de la temperatura de películas delgadas de óxido de titanio estudiadas por elipsometría espectroscópica". Física Aplicada Express . 6 (12): 121101. Bibcode : 2013APExp ... 6l1101Z . doi : 10.7567 / apex.6.121101 .
- ^ a b Sheng-Hong, Y .; Sen, C .; Ning, Y .; Yue-Li, Z. (2013). "Estudio óptico de películas multiferroicas BiFeO3 dopadas con Nd procesadas con Sol-gel mediante elipsometría espectroscópica". Ferroeléctricos . 454 (1): 78–83. doi : 10.1080 / 00150193.2013.842802 .
- ^ a b Balakrishnan, G .; Sundari, ST; Kuppusami, P .; Chandra, PM; Srinivasan, diputado; Mohandas, E .; Ganesan, V .; Sastikumar, D. (2011). "Un estudio de las propiedades ópticas y microestructurales de películas delgadas de Ceria nanocristalinas preparadas por deposición láser pulsado". Películas sólidas delgadas . 519 (8): 2520–2526. Código bibliográfico : 2011TSF ... 519.2520B . doi : 10.1016 / j.tsf.2010.12.013 .
- ^ a b Cheng, KW; Huang, CM; Pan, GT; Chang, WS; Lee, TC; Yang, TCK (2010). "Efecto de Sb sobre el crecimiento y respuesta fotoelectroquímica de electrodos de película AgIn5S8 creados por técnica de crecimiento de solución". Ciencias de la Ingeniería Química . 65 (1): 74–79. doi : 10.1016 / j.ces.2009.02.002 .
- ^ a b Das, NS; Ghosh, PK; Mitra, MK; Chattopadhyay, KK (2010). "Efecto del espesor de la película en la brecha de la banda de energía de películas delgadas de CdS nanocristalino analizadas por elipsometría espectroscópica". Physica E: Sistemas y nanoestructuras de baja dimensión . 42 (8): 2097–2102. Código bibliográfico : 2010PhyE ... 42.2097D . doi : 10.1016 / j.physe.2010.03.035 .
- ^ a b Xiong, K .; Hou, L .; Wang, P .; Xia, Y .; Chen, D .; Xiao, B. (2014). "Eficiencia mejorada por dopaje de fósforo en células solares orgánicas bicapa debido a una mayor longitud de difusión de excitación". Diario de luminiscencia . 151 : 193-196. Código bibliográfico : 2014JLum..151..193X . doi : 10.1016 / j.jlumin.2014.02.016 .
- ^ a b Huynh, TP; Pietrzyk-Le, A .; Chandra-Bikram, KC; Noworyta, KR; Sobczak, JW; Sharma, PS; D'Souza, F .; Kutner, W. (2013). "Polímero impreso molecularmente sintetizado electroquímicamente de derivados de tiofeno para la determinación del análisis de inyección de flujo de adenosina-5′-trifosfato (ATP)". Biosensores y Bioelectrónica . 41 : 634–641. doi : 10.1016 / j.bios.2012.09.038 . PMID 23131778 .
- ^ a b Zhu, D .; Shen, W .; Ye, H .; Liu, X .; Zhen, H. (2008). "Determinación de las constantes ópticas de películas de diodos emisores de luz de polímero a partir de mediciones de reflexión única". Revista de Física D: Física Aplicada . 23. 41 (23): 235104. Bibcode : 2008JPhD ... 41w5104Z . doi : 10.1088 / 0022-3727 / 41/23/235104 .
- ^ a b Laidani, N .; Bartali, R .; Gottardi, G .; Anderle, M .; Cheyssac, P. (2008). "Parámetros de absorción óptica de películas de carbono amorfo de modelos Forouhi-Bloomer y Tauc-Lorentz: un estudio comparativo". Revista de física: materia condensada . 20 (1): 15216. Código bibliográfico : 2008JPCM ... 20a5216L . CiteSeerX 10.1.1.369.5532 . doi : 10.1088 / 0953-8984 / 20/01/015216 .
- ^ a b Easwarakhanthan, T .; Beyssen, D .; Brizoual, LL; Alnot, P. (2007). "Dispersiones ópticas de Forouhi-Bloomer y Tauc-Lorentz aplicadas mediante elipsometría espectroscópica a películas de fluorocarbono depositadas por plasma". Revista de Física Aplicada . 101 (7): 073102–073102–7. Código bibliográfico : 2007JAP ... 101g3102E . doi : 10.1063 / 1.2719271 .
- ^ Cielos, OS (1965). Propiedades ópticas de películas sólidas delgadas . Nueva York: Dover.
- ^ Levenberg, K. (1944). "Un método para la solución de ciertos problemas no lineales en mínimos cuadrados" . The Quarterly of Applied Mathematics . 2 (2): 164. doi : 10.1090 / qam / 10666 .
- ^ Marquardt, DW (1963). "Un algoritmo para la estimación de mínimos cuadrados de parámetros no lineales". Revista de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas . 2. 11 (2): 431–441. doi : 10.1137 / 0111030 . hdl : 10338.dmlcz / 104299 .