En matemáticas, la secuencia regular de plegado de papel , también conocida como secuencia de la curva del dragón , es una secuencia automática infinita de 0 y 1 definida como el límite del siguiente proceso:
- 1
- 1 1 0
- 1 1 0 1 1 0 0
- 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0
En cada etapa se inserta una secuencia alterna de unos y ceros entre los términos de la secuencia anterior. La secuencia toma su nombre del hecho de que representa la secuencia de dobleces izquierda y derecha a lo largo de una tira de papel que se dobla repetidamente por la mitad en la misma dirección. Si cada pliegue se abre para crear una esquina en ángulo recto, la forma resultante se aproxima al fractal de la curva del dragón . [1] Por ejemplo, la siguiente curva se obtiene doblando una tira cuatro veces hacia la derecha y luego desplegándola para dar ángulos rectos, esto da los primeros 15 términos de la secuencia cuando 1 representa un giro a la derecha y 0 representa un giro a la izquierda.
A partir de n = 1, los primeros términos de la secuencia regular de plegado de papel son:
Propiedades
El valor de cualquier dado término t n en la secuencia regular de papiroflexia se puede encontrar de forma recursiva como sigue. Si n = m · 2 k donde m es impar, entonces
Por tanto, t 12 = t 3 = 0 pero t 13 = 1.
La palabra de plegado de papel 1101100111001001 ..., que se crea concatenando los términos de la secuencia de plegado de papel regular, es un punto fijo de las reglas de morfismo o sustitución de cadenas.
- 11 → 1101
- 01 → 1001
- 10 → 1100
- 00 → 1000
como sigue:
- 11 → 1101 → 11011001 → 1101100111001001 → 11011001110010011101100011001001 ...
Puede verse en las reglas de morfismo que la palabra de plegado de papel contiene como máximo tres ceros consecutivos y como máximo tres unos consecutivos.
La secuencia de plegado de papel también satisface la relación de simetría:
lo que muestra que la palabra de plegado en papel se puede construir como el límite de otro proceso iterado de la siguiente manera:
- 1
- 1 1 0
- 110 1 100
- 1101100 1 1100100
- 110110011100100 1 110110001100100
En cada iteración de este proceso, se coloca un 1 al final de la cadena de la iteración anterior, luego esta cadena se repite en orden inverso, reemplazando 0 por 1 y viceversa.
Función generadora
La función generadora de la secuencia de plegado del papel viene dada por
De la construcción de la secuencia de plegado del papel se puede ver que G satisface la relación funcional
Constante de plegado de papel
Sustituir x = 0.5 en la función generadora da un número real entre 0 y 1 cuya expansión binaria es la palabra de plegado en papel
Este número se conoce como la constante de plegado del papel [2] y tiene el valor
Secuencia general de plegado de papel
La secuencia normal de plegado de papel corresponde a doblar una tira de papel de forma coherente en la misma dirección. Si permitimos que la dirección del pliegue varíe en cada paso, obtenemos una clase de secuencias más general. Dada una secuencia binaria ( f i ), podemos definir una secuencia de plegado de papel general con instrucciones de plegado ( f i ).
Para una palabra binaria w , sea w ‡ el reverso del complemento de w . Definir un operador F a como
y luego defina una secuencia de palabras dependiendo de ( f i ) por w 0 = ε,
El límite w de la secuencia w n es una secuencia de plegado de papel. La secuencia regular de plegado de papel corresponde a la secuencia de plegado f i = 1 para todo i .
Si n = m · 2 k donde m es impar, entonces
que puede usarse como una definición de una secuencia de plegado de papel. [3]
Propiedades
- En última instancia, una secuencia de plegado de papel no es periódica. [3]
- Una secuencia de plegado de papel es 2- automática si y solo si la secuencia de plegado es finalmente periódica (1-automática).
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Dragon Curve" . MathWorld .
- ^ Weisstein, Eric W. "Constante de plegado de papel" . MathWorld .
- ^ a b Everest, Graham; van der Poorten, Alf ; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Secuencias de recurrencia . Encuestas y Monografías Matemáticas. 104 . Providence, RI : Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 235. ISBN 0-8218-3387-1. Zbl 1033.11006 .
- Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Secuencias automáticas: teoría, aplicaciones, generalizaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015 .