Octágono suavizado

El octágono suavizado es una región en el plano encontrada por Karl Reinhardt en 1934 y conjeturada por él que tiene la densidad de empaquetamiento máxima más baja del plano de todas las formas convexas simétricas centralmente . ^[1] También fue descubierto independientemente por Kurt Mahler en 1947. ^[2] Se construye reemplazando las esquinas de un octágono regular con una sección de una hipérbola que es tangente a los dos lados adyacentes a la esquina y asintótica a los lados. adyacente a estos.

La forma del octágono suavizado se puede derivar de sus empaquetaduras, que colocan octágonos en los puntos de una celosía triangular. El requisito de que estos empaques tengan la misma densidad sin importar cómo se roten la celosía y el octágono suavizado entre sí, con formas que permanezcan en contacto con cada forma vecina, se puede utilizar para determinar la forma de las esquinas. Una de las figuras muestra tres octágonos que giran mientras el área del triángulo formado por sus centros permanece constante, manteniéndolos empaquetados lo más cerca posible. Para octágonos regulares, las formas roja y azul se superpondrían, por lo que para permitir que la rotación continúe, las esquinas se recortan a un punto que se encuentra a medio camino entre sus centros, generando la curva requerida, que resulta ser una hipérbola.

La hipérbola se construye tangente a dos lados del octágono y asintótica a los dos adyacentes a estos. Los siguientes detalles se aplican a un octágono regular de circunradio con su centro en el punto y un vértice en el punto . Para dos constantes y , la hipérbola viene dada por la ecuación${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ Displaystyle (2 + {\ sqrt {2}}, 0)}$${\ displaystyle (2,0)}$${\ Displaystyle \ ell = {\ sqrt {2}} - 1}$${\ displaystyle m = (1/2) ^ {1/4}}$

Las líneas del octágono tangente a la hipérbola son , y las líneas asintóticas a la hipérbola son simplemente .${\ Displaystyle y = \ pm \ left ({\ sqrt {2}} + 1 \ right) \ left (x-2 \ right)}$${\ Displaystyle y = \ pm \ ell x}$

El octágono suavizado alcanza su máxima densidad de empaque, no solo para un solo empaque, sino para una familia de 1 parámetro. Todos estos son empaques de celosía . La conjetura de Reinhardt de que el octágono suavizado tiene la densidad de empaquetamiento máxima más baja de todas las formas convexas simétricas centralmente en el plano permanece sin resolver. Si no se requiere simetría central, el heptágono regular tiene una densidad de empaquetamiento aún menor, pero tampoco se ha demostrado su optimización. En tres dimensiones, la conjetura de empaquetamiento de Ulam establece que ninguna forma convexa tiene una densidad máxima de empaquetamiento menor que la bola. ^[5]

Un octágono suavizado.

La familia de empaquetaduras de máxima densidad del octágono suavizado.

Las esquinas del octágono suavizado se pueden encontrar rotando tres octágonos regulares cuyos centros forman un triángulo con área constante.

Construcción del octágono suavizado (negro), la hipérbola tangente (rojo) y las asíntotas de esta hipérbola (verde), y los lados tangentes a la hipérbola (azul).