En geometría , un heptágono es un polígono de siete lados o 7 gones.
Heptágono regular | |
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Tipo | Polígono regular |
Aristas y vértices | 7 |
Símbolo de Schläfli | {7} |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | Diedro (D 7 ), orden 2 × 7 |
Ángulo interno ( grados ) | ≈128.571 ° |
Polígono dual | Uno mismo |
Propiedades | Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal |
El heptágono a veces se denomina septagon , usando "sept-" (una elisión de septua- , un prefijo numérico derivado del latín , en lugar de hepta- , un prefijo numérico derivado del griego ; ambos son afines) junto con el sufijo griego. "-agon" que significa ángulo.
Heptágono regular
Un heptágono regular , en el que todos los lados y todos los ángulos son iguales, tiene ángulos internos de 5π / 7 radianes (128 4 ⁄ 7 grados ). Su símbolo Schläfli es {7}.
Área
El área ( A ) de un heptágono regular de lado a está dada por:
Esto se puede ver subdividiendo el heptágono de lados unitarios en siete "porciones circulares" triangulares con vértices en el centro y en los vértices del heptágono, y luego dividiendo a la mitad cada triángulo usando la apotema como lado común. La apotema es la mitad de la cotangente de y el área de cada uno de los 14 triángulos pequeños es un cuarto de la apotema.
La exacta expresión algebraica , a partir de la cúbico polinomio 8 x 3 + 4 x 2 - 4 x - 1 (una de cuyas raíces es) [1] viene dado en números complejos por:
en el que las partes imaginarias se compensan entre sí dejando una expresión de valor real. Esta expresión no se puede reescribir algebraicamente sin componentes complejos, ya que la función cúbica indicada es casus irreducibilis .
El área de un heptágono regular inscrito en un círculo de radio R es mientras que el área del círculo en sí es así, el heptágono regular llena aproximadamente 0,8710 de su círculo circunscrito .
Construcción
Como 7 es un primo de Pierpont pero no un primo de Fermat , el heptágono regular no se puede construir con brújula y regla, pero sí con una regla y un compás marcados . Es el polígono regular más pequeño con esta propiedad. Este tipo de construcción se llama construcción neusis . También se puede construir con compás, regla y trisector de ángulo. La imposibilidad de construir una regla y un compás se deriva de la observación de quees un cero del cúbico irreducible x 3 + x 2 - 2 x - 1 . En consecuencia, este polinomio es el polinomio mínimo de 2cos ( 2π ⁄ 7 ),mientras que el grado del polinomio mínimo para unnúmero construibledebe ser una potencia de 2.
Una construcción neusis del ángulo interior en un heptágono regular. | Una animación de una construcción neusis con radio de circunferencia , según Andrew M. Gleason [1] basado en la trisección del ángulo mediante el Tomahawk . Esta construcción se basa en el hecho de que
|
Gerard 't Hooft muestra un heptágono regular hecho de solo 15 tiras de Meccano con barras de tamaños 8 y 11. [3]
La construcción incluye dos triángulos isósceles que mantienen fijo el resto de barras. El lado del heptágono regular de una , la más corta triángulo isósceles lado de correo , y el lado más largo del triángulo isósceles d satisfacen
La fórmula se deriva de esta fórmula de triángulo heptagonal :
Pequeñas construcciones posibles de heptágonos:
Heptágono | a | D | mi |
---|---|---|---|
1 | 3 | 4 | 1 |
2 | 8 | 11 | 6 |
3 | 33 | 46 | 29 |
4 | 40 | 53 | 6 |
5 | 55 | 74 | 27 |
El heptágono 1 mecano más pequeño:
Aproximación
En el dibujo se muestra una aproximación para uso práctico con un error de aproximadamente 0,2%. Se atribuye a Alberto Durero . [4] Descanse A sobre la circunferencia de la circunferencia. Dibuja el arco BOC . Luego da una aproximación para el borde del heptágono.
Esta aproximación utiliza para el lado del heptágono inscrito en el círculo unitario, mientras que el valor exacto es .
Ejemplo para ilustrar el error:
en un círculo circunscrito de radio r = 1 m , el error absoluto del 1er lado sería aproximadamente -1,7 mm
Se puede realizar una construcción de aproximación mecano con once barras de tamaños 20, 36 y 45. Estos valores dejan un error de alrededor del 0,1%.
Simetría
El heptágono regular pertenece al grupo de puntos D 7h ( notación de Schoenflies ), orden 28. Los elementos de simetría son: un eje de rotación propio de 7 veces C 7 , un eje de rotación incorrecto de 7 veces, S 7 , 7 planos de espejo vertical, σ v , 7 ejes de rotación doble, C 2 , en el plano del heptágono y un plano horizontal del espejo, σ h , también en el plano del heptágono. [6]
Diagonales y triángulo heptagonal
Del lado heptágono regular de un más corto, diagonal b diagonal más larga, y c , con un < b < c , satisfacen [7] : Lema 1
- (la ecuación óptica )
y por lo tanto
y [7] : Coro. 2
Por lo tanto, b / c , c / a y a / b satisfacen la ecuación cúbica Sin embargo, no existen expresiones algebraicas con términos puramente reales para las soluciones de esta ecuación, porque es un ejemplo de casus irreducibilis .
Las longitudes aproximadas de las diagonales en términos del lado del heptágono regular están dadas por
También tenemos [8]
y
Un triángulo heptagonal tiene vértices que coinciden con el primer, segundo y cuarto vértices de un heptágono regular (desde un vértice inicial arbitrario) y ángulos y Así, sus lados coinciden con un lado y dos diagonales particulares del heptágono regular. [7]
Heptágonos estrella
Se pueden construir dos tipos de heptágonos estelares ( heptagramas ) a partir de heptágonos regulares, etiquetados con los símbolos de Schläfli {7/2} y {7/3}, siendo el divisor el intervalo de conexión.
Heptágonos estrella azul, {7/2} y verde {7/3} dentro de un heptágono rojo.
Ejemplos empíricos
El Reino Unido actualmente (2020) tiene dos monedas heptagonales , las piezas de 50p y 20p , y el dólar de Barbados también es heptagonal. La moneda de 20 céntimos de euro tiene cavidades colocadas de manera similar. Estrictamente, la forma de las monedas es un heptágono Reuleaux , un heptágono curvilíneo para hacerlas curvas de ancho constante : los lados están curvados hacia afuera para que la moneda ruede suavemente cuando se inserta en una máquina expendedora . Las monedas de pula de Botswana en las denominaciones de 2 Pula, 1 Pula, 50 Thebe y 5 Thebe también tienen forma de heptágonos de curva equilátera. Monedas en forma de heptágonos Reuleaux también están en circulación en Mauricio, Emiratos Árabes Unidos, Tanzania, Samoa, Papua Nueva Guinea, Santo Tomé y Príncipe, Haití, Jamaica, Liberia, Ghana, Gambia, Jordania, Jersey, Guernsey, Isla de Man, Gibraltar, Guyana, Islas Salomón, Islas Malvinas y Santa Elena. La moneda de 1000 Kwacha de Zambia es un verdadero heptágono.
La moneda brasileña de 25 centavos tiene un heptágono inscrito en el disco de la moneda. Algunas versiones antiguas del escudo de armas de Georgia , incluso en la época soviética , usaban un heptagrama {7/2} como elemento.
En arquitectura, los planos de planta heptagonal son muy raros. Un ejemplo notable es el Mausoleo del Príncipe Ernst en Stadthagen , Alemania .
Muchas insignias de policía en los EE. UU. Tienen un contorno de heptagrama {7/2}.
Aparte del prisma heptagonal y el antiprisma heptagonal , ningún poliedro convexo hecho completamente de polígonos regulares contiene un heptágono como cara.
Los heptágonos regulares pueden enlosar el plano hiperbólico , como se muestra en esta proyección del modelo de disco de Poincaré :
baldosas heptagonal
Gráficos
El gráfico completo de K 7 a menudo se dibuja como un heptágono regular con los 21 bordes conectados. Este gráfico también representa una proyección ortográfica de los 7 vértices y 21 aristas del 6-simplex . El polígono sesgado regular alrededor del perímetro se llama polígono petrie .
6 simplex (6D) |
Heptágono en la naturaleza
Cactus
Ver también
- Heptagrama
- Polígono
Referencias
- ↑ a b Gleason, Andrew Mattei (marzo de 1988). "Trisección de ángulo, el heptágono y el triskaidecágono p. 186 (Fig.1) –187" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 95 (3): 185-194. doi : 10.2307 / 2323624 . Archivado desde el original (PDF) el 19 de diciembre de 2015.
- ^ Weisstein, Eric W. "Heptagon". De MathWorld, un recurso web de Wolfram.
- ^ Gerard 't Hooft. "Meccano Mathematics I"
- ↑ GH Hughes, "The Polygons of Albrecht Dürer-1525, The Regular Heptagon", Fig. 11 al lado del Heptagon (7) Fig. 15, imagen del lado izquierdo , recuperada el 4 de diciembre de 2015
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275-278)
- ^ Salthouse, JA; Ware, MJ (1972). Tablas de caracteres de grupos de puntos y datos relacionados . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0521 08139 4.
- ^ a b c Abdilkadir Altintas, "Algunas colinealidades en el triángulo heptagonal", Forum Geometricorum 16, 2016, 249-256. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201630.pdf
- ^ Leon Bankoff y Jack Garfunkel, "El triángulo heptagonal", Revista de matemáticas 46 (1), enero de 1973, 7-19.
enlaces externos
- Definición y propiedades de un heptágono con animación interactiva
- Heptágono según Johnson
- Otro método de construcción aproximado
- Polígonos - Heptagones
- Aproximación recientemente descubierta y altamente precisa para la construcción de un heptágono regular.
- Heptágono, una construcción aproximada como animación
- Un heptágono con un lado dado, una construcción aproximada como animación.