Problema del lado quemado
El problema de Burnside , planteado por William Burnside en 1902 y una de las preguntas más antiguas e influyentes en la teoría de grupos , se pregunta si un grupo generado finitamente en el que cada elemento tiene un orden finito debe ser necesariamente un grupo finito . Evgeny Golod e Igor Shafarevich proporcionaron un contraejemplo en 1964. El problema tiene muchas variantes (ver acotado y restringido a continuación) que difieren en las condiciones adicionales impuestas a las órdenes de los elementos del grupo.
El trabajo inicial apuntó hacia la respuesta afirmativa. Por ejemplo, si un grupo G se genera de forma finita y el orden de cada elemento de G es un divisor de 4, entonces G es finito. Además, AI Kostrikin pudo demostrar en 1958 que entre los grupos finitos con un número dado de generadores y un exponente primo dado, existe uno más grande. Esto proporciona una solución para el problema de Burnside restringido para el caso del exponente primo. (Más tarde, en 1989, Efim Zelmanov pudo resolver el problema restringido de Burnside para un exponente arbitrario). Issai Schurhabía demostrado en 1911 que cualquier grupo periódico generado finitamente que fuera un subgrupo del grupo de matrices complejas invertibles n × n era finito; usó este teorema para demostrar el teorema de Jordan-Schur . [1]
Sin embargo, la respuesta general al problema de Burnside resultó ser negativa. En 1964, Golod y Shafarevich construyeron un grupo infinito de tipo Burnside sin asumir que todos los elementos tienen un orden delimitado uniformemente. En 1968, Pyotr Novikov y Sergei Adian proporcionaron una solución negativa al problema del exponente acotado para todos los exponentes impares mayores que 4381. En 1982, A. Yu. Ol'shanskii encontró algunos contraejemplos sorprendentes para exponentes impares suficientemente grandes (mayores de 10 10 ) y proporcionó una demostración considerablemente más simple basada en ideas geométricas.
El caso de los exponentes pares resultó mucho más difícil de resolver. En 1992, SV Ivanov anunció la solución negativa para exponentes pares suficientemente grandes divisibles por una gran potencia de 2 (las pruebas detalladas se publicaron en 1994 y ocuparon unas 300 páginas). El trabajo conjunto posterior de Ol'shanskii e Ivanov estableció una solución negativa a un análogo del problema de Burnside para grupos hiperbólicos , siempre que el exponente sea lo suficientemente grande. Por el contrario, cuando el exponente es pequeño y diferente de 2, 3, 4 y 6, se sabe muy poco.
Un grupo G se llama periódico si cada elemento tiene un orden finito; en otras palabras, para cada g en G , existe un entero positivo n tal que g n = 1. Claramente, todo grupo finito es periódico. Existen grupos fácilmente definidos como el p ∞ -grupo que son infinitos grupos periódicos; pero el último grupo no se puede generar de forma finita.
Problema general de Burnside. Si G es un grupo periódico generado de forma finita, ¿es G necesariamente finito?
