En matemáticas , y más particularmente en la teoría analítica de fracciones continuas regulares , se dice que una fracción continua regular infinita x está restringida , o compuesta de cocientes parciales restringidos , si la secuencia de denominadores de sus cocientes parciales está acotada; es decir
y hay algún entero positivo M tal que todos los (integral) denominadores parciales una i son menos que o igual a M . [1] [2]
Fracciones continuas periódicas
Una fracción continua periódica regular consiste en un bloque inicial finito de denominadores parciales seguido de un bloque repetido; Si
entonces ζ es un número irracional cuadrático , y su representación como una fracción continua regular es periódica. Claramente, cualquier fracción continua periódica regular consta de cocientes parciales restringidos, ya que ninguno de los denominadores parciales puede ser mayor que el mayor de un 0 a un k + m . Históricamente, los matemáticos estudiaron fracciones continuas periódicas antes de considerar el concepto más general de cocientes parciales restringidos.
CF restringidos y el conjunto de Cantor
El conjunto de Cantor es un conjunto C de medida cero de la que un completo intervalo de números reales puede ser construido por adición simple - es decir, cualquier número real a partir del intervalo se puede expresar como la suma de exactamente dos elementos del conjunto C . La prueba habitual de la existencia del conjunto de Cantor se basa en la idea de perforar un "agujero" en el medio de un intervalo, luego perforar agujeros en los subintervalos restantes y repetir este proceso ad infinitum .
El proceso de sumar un cociente parcial más a una fracción continua finita es en muchos sentidos análogo a este proceso de "perforar un agujero" en un intervalo de números reales. El tamaño del "agujero" es inversamente proporcional al siguiente denominador parcial elegido; si el siguiente denominador parcial es 1, la brecha entre convergentes sucesivos se maximiza. Para precisar los siguientes teoremas, consideraremos CF ( M ), el conjunto de fracciones continuas restringidas cuyos valores se encuentran en el intervalo abierto (0, 1) y cuyos denominadores parciales están acotados por un entero positivo M , es decir,
Al hacer un argumento paralelo al utilizado para construir el conjunto de Cantor se pueden obtener dos resultados interesantes.
- Si M ≥ 4, entonces cualquier número real en un intervalo se puede construir como la suma de dos elementos de CF ( M ), donde el intervalo está dado por
- Un simple argumento muestra que se cumple cuando M ≥ 4, y esto a su vez implica que si M ≥ 4, todo número real se puede representar en la forma n + CF 1 + CF 2 , donde n es un número entero y CF 1 y CF 2 son elementos de CF ( M ). [3]
Conjetura de Zaremba
Zaremba ha conjeturado la existencia de una constante absoluta A , tal que los racionales con cocientes parciales restringidos por A contienen al menos uno para cada denominador (entero positivo). La elección A = 5 es compatible con la evidencia numérica. [4] Otras conjeturas reducen ese valor, en el caso de todos los denominadores suficientemente grandes. [5] Jean Bourgain y Alex Kontorovich han demostrado que A puede ser elegido de modo que la conclusión es válida para un conjunto de denominadores de densidad 1. [6]
Ver también
Referencias
- ^ Rockett, Andrew M .; Szüsz, Peter (1992). Fracciones continuas . World Scientific. ISBN 981-02-1052-3.
- ^ Para obtener una explicación más completa de la notación K utilizada aquí, consulte este artículo .
- ^ Hall, Marshall (octubre de 1947). "Sobre la suma y el producto de fracciones continuas". Los anales de las matemáticas . 48 (4): 966–993. doi : 10.2307 / 1969389 . JSTOR 1969389 .
- ^ Cristian S. Calude; Elena Calude; MJ Dinneen (29 de noviembre de 2004). Desarrollos en la teoría del lenguaje: 8ª Conferencia Internacional, DLT 2004, Auckland, Nueva Zelanda, 13-17 de diciembre, Actas . Saltador. pag. 180. ISBN 978-3-540-24014-3.
- ^ Hee Oh; Emmanuel Breuillard (17 de febrero de 2014). Grupos delgados y aproximación superfuerte . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 15. ISBN 978-1-107-03685-7.
- ^ Bourgain, Jean ; Kontorovich, Alex (2014). "Sobre la conjetura de Zaremba". Annals of Mathematics . 180 (1): 137-196. arXiv : 1107.3776 . doi : 10.4007 / annals.2014.180.1.3 . Señor 3194813 .