En matemáticas , el conjunto de Cantor es un conjunto de puntos que se encuentran en un solo segmento de línea que tiene una serie de propiedades notables y profundas. Fue descubierto en 1874 por Henry John Stephen Smith [1] [2] [3] [4] e introducido por el matemático alemán Georg Cantor en 1883. [5] [6]
Al considerar este conjunto, Cantor y otros ayudaron a sentar las bases de la topología moderna de conjuntos de puntos . Aunque el propio Cantor definió el conjunto de una manera general y abstracta, la construcción moderna más común es el conjunto ternario de Cantor , construido quitando el tercio medio de un segmento de línea y luego repitiendo el proceso con los segmentos más cortos restantes. El propio Cantor mencionó la construcción ternaria solo de pasada, como ejemplo de una idea más general, la de un conjunto perfecto que no es denso en ninguna parte .
Construcción y fórmula del conjunto ternario
El conjunto ternario de Cantor se crea eliminando iterativamente el tercio medio abierto de un conjunto de segmentos de línea. Se comienza eliminando el tercio medio abierto (1/3, 2/3) del intervalo [0, 1], dejando dos segmentos de línea: [0, 1/3] ∪ [ 2/3, 1]. A continuación, se elimina el tercio medio abierto de cada uno de estos segmentos restantes, dejando cuatro segmentos de línea: [0, 1/9] ∪ [ 2/9, 1/3] ∪ [ 2/3, 7/9] ∪ [ 8/9, 1]. Este proceso continúa ad infinitum , donde el n- ésimo conjunto es
El conjunto ternario de Cantor contiene todos los puntos en el intervalo [0, 1] que no se eliminan en ningún paso de este proceso infinito:
Los primeros seis pasos de este proceso se ilustran a continuación.
Usando la idea de transformaciones auto-similares, y las fórmulas cerradas explícitas para el conjunto de Cantor son [7]
donde cada tercio medio se elimina como el intervalo abierto del intervalo cerrado rodeándolo, o
donde el tercio medio del intervalo cerrado anterior se elimina al cruzarse con
Este proceso de eliminar los tercios medios es un ejemplo simple de una regla de subdivisión finita . El conjunto ternario de Cantor es un ejemplo de una cadena fractal .
En términos aritméticos, el conjunto de Cantor consta de todos los números reales del intervalo unitario que no requieren el dígito 1 para expresarse como una fracción ternaria (base 3). Como ilustra el diagrama anterior, cada punto en el conjunto de Cantor está ubicado de forma única por un camino a través de un árbol binario infinitamente profundo, donde el camino gira a la izquierda o derecha en cada nivel según en qué lado de un segmento eliminado se encuentra el punto. Al representar cada giro a la izquierda con 0 y cada giro a la derecha con 2, se obtiene la fracción ternaria de un punto.
Composición
Dado que el conjunto de Cantor se define como el conjunto de puntos no excluidos, la proporción (es decir, la medida ) del intervalo unitario restante se puede encontrar por la longitud total eliminada. Este total es la progresión geométrica
De modo que la proporción restante es 1 - 1 = 0.
Este cálculo sugiere que el conjunto de Cantor no puede contener ningún intervalo de longitud distinta de cero. Puede parecer sorprendente que quede algo; después de todo, la suma de las longitudes de los intervalos eliminados es igual a la longitud del intervalo original. Sin embargo, una mirada más cercana al proceso revela que debe quedar algo, ya que eliminar el "tercio medio" de cada intervalo implicaba eliminar conjuntos abiertos (conjuntos que no incluyen sus puntos finales). Entonces, quitando el segmento de línea ( 1/3, 2/3) del intervalo original [0, 1] deja atrás los puntos 1/3 y 2/3. Los pasos posteriores no eliminan estos (u otros) puntos finales, ya que los intervalos eliminados son siempre internos a los intervalos restantes. Por lo tanto, el conjunto de Cantor no está vacío y, de hecho, contiene un número infinito incontable de puntos (como se desprende de la descripción anterior en términos de rutas en un árbol binario infinito).
Puede parecer que solo quedan los puntos finales de los segmentos de construcción, pero ese tampoco es el caso. El número 1/4, por ejemplo, tiene la forma ternaria única 0.020202 ... = 0. 02 . Está en el tercio inferior y el tercio superior de ese tercio, y el tercio inferior de ese tercio superior, y así sucesivamente. Dado que nunca se encuentra en uno de los segmentos intermedios, nunca se elimina. Sin embargo, tampoco es un punto final de ningún segmento medio, porque no es un múltiplo de ninguna potencia de 1/3. [8] Todos los puntos finales de los segmentos son fracciones ternarias terminales y están contenidos en el conjunto
que es un conjunto infinito numerable . En cuanto a la cardinalidad , casi todos los elementos del conjunto de Cantor no son puntos finales de intervalos ni puntos racionales como 1/4. De hecho, todo el conjunto de Cantor no es contable.
Propiedades
Cardinalidad
Se puede demostrar que quedan tantos puntos en este proceso como en un principio y que, por tanto, el conjunto de Cantor es incontable . Para ver esto, mostramos que hay una función f del conjunto de Cantoral intervalo cerrado [0,1] que es sobreyectivo (es decir, f mapas desobre [0,1]) de modo que la cardinalidad deno es menor que la de [0,1]. Desdees un subconjunto de [0,1], su cardinalidad tampoco es mayor, por lo que las dos cardinalidades deben ser iguales, según el teorema de Cantor-Bernstein-Schröder .
Para construir esta función, considere los puntos en el intervalo [0, 1] en términos de notación base 3 (o ternaria ). Recordemos que las fracciones ternarias propias, más precisamente: los elementos de, admitir más de una representación en esta notación, como por ejemplo 1/3, que se puede escribir como 0.1 3 = 0.1 0 3 , pero también como 0.0222 ... 3 = 0.0 2 3 , y 2/3, que se puede escribir como 0,2 3 = 0,2 0 3 pero también como 0,1222 ... 3 = 0,1 2 3 . [9] Cuando eliminamos el tercio medio, este contiene los números con números ternarios de la forma 0.1xxxxx ... 3 donde xxxxx ... 3 está estrictamente entre 00000 ... 3 y 22222 ... 3 . Entonces, los números restantes después del primer paso consisten en
- Números de la forma 0.0xxxxx ... 3 (incluido 0.022222 ... 3 = 1/3)
- Números de la forma 0.2xxxxx ... 3 (incluido 0.222222 ... 3 = 1)
Esto se puede resumir diciendo que aquellos números con una representación ternaria tal que el primer dígito después del punto de la base no es 1 son los que quedan después del primer paso.
El segundo paso elimina los números de la forma 0.01xxxx ... 3 y 0.21xxxx ... 3 , y (con el cuidado apropiado para los puntos finales) se puede concluir que los números restantes son aquellos con un numeral ternario donde ninguno de los primeros dos dígitos es 1.
Continuando de esta manera, para que un número no sea excluido en el paso n , debe tener una representación ternaria cuyo n- ésimo dígito no sea 1. Para que un número esté en el conjunto de Cantor, no debe ser excluido en ningún paso, debe admitir una representación numérica que consta en su totalidad de 0 y 2.
Vale la pena enfatizar que números como 1, 1/3= 0,1 3 y 7/9= 0.21 3 están en el conjunto de Cantor, ya que tienen números ternarios que consisten enteramente en 0s y 2s: 1 = 0.222 ... 3 = 0. 2 3 , 1/3= 0.0222 ... 3 = 0.0 2 3 y 7/9= 0,20222 ... 3 = 0,20 2 3 . Todos los últimos números son "puntos finales", y estos ejemplos son puntos límite a la derecha de. Lo mismo es cierto para los puntos límite izquierdos de, p.ej 2/3= 0.1222 ... 3 = 0.1 2 3 = 0.2 0 3 y 8/9= 0,21222 ... 3 = 0,21 2 3 = 0,22 0 3 . Todos estos puntos finales son fracciones ternarias propias (elementos de) de la forma pag/q, donde el denominador q es una potencia de 3 cuando la fracción está en su forma irreducible . [8] La representación ternaria de estas fracciones termina (es decir, es finita) o - recuerde desde arriba que las fracciones ternarias propias tienen 2 representaciones cada una - es infinita y "termina" en infinitos ceros recurrentes o infinitos 2 recurrentes. Tal fracción es un punto límite izquierdo desi su representación ternaria no contiene unos y "termina" en un número infinito de ceros recurrentes. De manera similar, una fracción ternaria propia es un punto límite derecho de si de nuevo, su expansión ternaria no contiene unos y "termina" en un número infinito de 2 recurrentes.
Este conjunto de puntos finales es denso en(pero no denso en [0, 1]) y forma un conjunto infinito numerable . Los números enque no son puntos finales también tienen solo 0 y 2 en su representación ternaria, pero no pueden terminar en una repetición infinita del dígito 0, ni del dígito 2, porque entonces sería un punto final.
La función de a [0,1] se define tomando los números ternarios que constan completamente de 0 y 2, reemplazando todos los 2 por 1 e interpretando la secuencia como una representación binaria de un número real. En una fórmula,
- dónde
Para cualquier número y en [0,1], su representación binaria se puede traducir en una representación ternaria de un número x enreemplazando todos los 1 por 2. Con esto, f ( x ) = y de modo que y está en el rango de f . Por ejemplo, si y = 3/5= 0.100110011001 ... 2 = 0. 1001 , escribimos x = 0. 2002 = 0.200220022002 ... 3 = 7/10. En consecuencia, f es sobreyectiva. Sin embargo, f no es inyectiva : los valores para los que f ( x ) coincide son los de los extremos opuestos de uno de los tercios medios eliminados. Por ejemplo, tome
- 1/3= 0.0 2 3 (que es un punto límite derecho de y un punto límite izquierdo del tercio medio [ 1/3, 2/3]) y
- 2/3= 0.2 0 3 (que es un punto límite izquierdo de y un punto límite derecho del tercio medio [ 1/3, 2/3])
entonces
Por lo tanto, hay tantos puntos en el conjunto de Cantor como en el intervalo [0, 1] (que tiene la cardinalidad incontable). Sin embargo, el conjunto de puntos finales de los intervalos eliminados es contable, por lo que debe haber incontables números en el conjunto de Cantor que no son puntos finales de intervalo. Como se señaló anteriormente, un ejemplo de tal número es 1/4, que se puede escribir como 0.020202 ... 3 = 0. 02 en notación ternaria. De hecho, dado cualquier, allí existe tal que . Esto fue demostrado por primera vez por Steinhaus en 1917, quien demostró, a través de un argumento geométrico, la afirmación equivalente de que para cada . [10] Dado que esta construcción proporciona una inyección de a , tenemos como corolario inmediato. Asumiendo que para cualquier conjunto infinito (una declaración que se demostró que es equivalente al axioma de elección de Tarski ), esto proporciona otra demostración de que.
El conjunto de Cantor contiene tantos puntos como el intervalo del que se toma, pero en sí mismo no contiene ningún intervalo de longitud distinta de cero. Los números irracionales tienen la misma propiedad, pero el conjunto de Cantor tiene la propiedad adicional de ser cerrado, por lo que ni siquiera es denso en ningún intervalo, a diferencia de los números irracionales que son densos en cada intervalo.
Se ha conjeturado que todos los números irracionales algebraicos son normales . Dado que los miembros del conjunto de Cantor no son normales, esto implicaría que todos los miembros del conjunto de Cantor son racionales o trascendentales .
Auto-semejanza
El conjunto de Cantor es el prototipo de un fractal . Es auto-similar , porque equivale a dos copias de sí mismo, si cada copia se reduce en un factor de 3 y se traduce. Más precisamente, el conjunto de Cantor es igual a la unión de dos funciones, las transformaciones de auto-semejanza izquierda y derecha de sí mismo, y , que dejan el conjunto de Cantor invariante hasta el homeomorfismo :
Repetida iteración de y se puede visualizar como un árbol binario infinito . Es decir, en cada nodo del árbol, se puede considerar el subárbol a la izquierda oa la derecha. Tomando el setjunto con la función, la composición forma un monoide , el monoide diádico .
Los automorfismos del árbol binario son sus rotaciones hiperbólicas y están dadas por el grupo modular . Por tanto, el conjunto de Cantor es un espacio homogéneo en el sentido de que para dos puntos cualesquiera y en el set de Cantor , existe un homeomorfismo con . Una construcción explícita dese puede describir más fácilmente si vemos el conjunto de Cantor como un espacio producto de innumerables copias del espacio discreto. Entonces el mapa definido por es un homeomorfismo involutivo que intercambia y .
Ley de conservación
Se ha descubierto que alguna forma de ley de conservación siempre es responsable de la escala y la auto-semejanza. En el caso del conjunto de Cantor se puede ver que elth momento (donde es la dimensión fractal) de todos los intervalos supervivientes en cualquier etapa del proceso de construcción es igual a constante que es igual a uno en el caso del conjunto de Cantor [11] [12] . Sabemos que hay intervalos de tamaño presente en el sistema en el el paso de su construcción. Entonces, si etiquetamos los intervalos supervivientes como entonces el el momento es desde .
La dimensión de Hausdorff del conjunto de Cantor es igual a ln (2) / ln (3) ≈ 0,631.
Propiedades topológicas y analíticas
Aunque "el" conjunto de Cantor se refiere típicamente al Cantor original de tercios medios descrito anteriormente, los topólogos a menudo hablan de "un" conjunto de Cantor, lo que significa cualquier espacio topológico que sea homeomórfico (topológicamente equivalente) a él.
Como muestra el argumento de suma anterior, el conjunto de Cantor es incontable pero tiene la medida de Lebesgue 0. Dado que el conjunto de Cantor es el complemento de una unión de conjuntos abiertos , es en sí mismo un subconjunto cerrado de los reales y, por lo tanto, un espacio métrico completo . Dado que también está totalmente acotado , el teorema de Heine-Borel dice que debe ser compacto .
Para cualquier punto del conjunto de Cantor y cualquier vecindad arbitrariamente pequeña del punto, hay algún otro número con un número ternario de solo 0 y 2, así como números cuyos números ternarios contienen 1. Por lo tanto, cada punto del conjunto de Cantor es un punto de acumulación (también llamado punto de clúster o punto límite) del conjunto de Cantor, pero ninguno es un punto interior . Un conjunto cerrado en el que cada punto es un punto de acumulación también se denomina conjunto perfecto en topología , mientras que un subconjunto cerrado del intervalo sin puntos interiores no es denso en ninguna parte del intervalo.
Cada punto del conjunto de Cantor es también un punto de acumulación del complemento del conjunto de Cantor.
Para dos puntos cualesquiera en el conjunto de Cantor, habrá algún dígito ternario donde difieran: uno tendrá 0 y el otro 2. Al dividir el conjunto de Cantor en "mitades" según el valor de este dígito, se obtiene una partición de el conjunto de Cantor en dos conjuntos cerrados que separan los dos puntos originales. En la topología relativa del conjunto de Cantor, los puntos han sido separados por un conjunto cerrado . En consecuencia, el conjunto de Cantor está totalmente desconectado . Como espacio Hausdorff compacto y totalmente desconectado , el conjunto Cantor es un ejemplo de espacio Stone .
Como espacio topológico , el conjunto de Cantor es naturalmente homeomorfo al producto de innumerables copias del espacio., donde cada copia lleva la topología discreta . Este es el espacio de todas las secuencias en dos dígitos.
- ,
que también se puede identificar con el conjunto de números enteros 2-ádicos . La base de los conjuntos abiertos de la topología del producto son los conjuntos de cilindros ; el homeomorfismo los asigna a la topología subespacial que el conjunto de Cantor hereda de la topología natural en la recta numérica real. Esta caracterización del espacio de Cantor como un producto de espacios compactos da una segunda prueba de que el espacio de Cantor es compacto, a través del teorema de Tychonoff .
De la caracterización anterior, el conjunto de Cantor es homeomorfo a los números enteros p-ádicos y, si se le quita un punto, a los números p-ádicos .
El conjunto de Cantor es un subconjunto de los reales, que son un espacio métrico con respecto a la métrica de distancia ordinaria ; por lo tanto, el propio conjunto de Cantor es un espacio métrico, utilizando esa misma métrica. Alternativamente, se puede usar la métrica p-adic en: dadas dos secuencias , la distancia entre ellos es , dónde es el índice más pequeño tal que ; si no existe tal índice, entonces las dos secuencias son iguales y uno define la distancia como cero. Estas dos métricas generan la misma topología en el conjunto de Cantor.
Hemos visto anteriormente que el conjunto Cantor es un espacio métrico compacto perfecto totalmente desconectado. De hecho, en cierto sentido, es el único: todo espacio métrico compacto perfecto, no vacío, totalmente desconectado, es homeomórfico para el conjunto de Cantor. Consulte Espacio Cantor para obtener más información sobre los espacios homeomórficos del conjunto Cantor.
El conjunto de Cantor a veces se considera "universal" en la categoría de espacios métricos compactos , ya que cualquier espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor; sin embargo, esta construcción no es única y, por lo tanto, el conjunto de Cantor no es universal en el sentido categórico preciso. La propiedad "universal" tiene aplicaciones importantes en el análisis funcional , donde a veces se la conoce como el teorema de representación para espacios métricos compactos . [13]
Para cualquier número entero q ≥ 2, la topología del grupo G = Z q ω (la suma directa contable) es discreta. Aunque el Pontrjagin dual Γ también es Z q ω , la topología de Γ es compacta. Se puede ver que Γ está totalmente desconectado y es perfecto, por lo que es homeomórfico para el conjunto de Cantor. Es más fácil escribir el homeomorfismo explícitamente en el caso q = 2. (Ver Rudin 1962 p 40.)
La media geométrica del conjunto de Cantor es aproximadamente 0,274974. [14] [ fuente no confiable? ]
Medida y probabilidad
El conjunto de Cantor puede verse como el grupo compacto de secuencias binarias y, como tal, está dotado de una medida Haar natural . Cuando se normaliza para que la medida del conjunto sea 1, es un modelo de una secuencia infinita de lanzamientos de monedas. Además, se puede demostrar que la medida de Lebesgue habitual en el intervalo es una imagen de la medida de Haar en el conjunto de Cantor, mientras que la inyección natural en el conjunto ternario es un ejemplo canónico de una medida singular . También se puede demostrar que la medida de Haar es una imagen de cualquier probabilidad , lo que hace que el conjunto de Cantor sea un espacio de probabilidad universal de alguna manera.
En la teoría de la medida de Lebesgue , el conjunto de Cantor es un ejemplo de un conjunto que es incontable y tiene medida cero. [15]
Números de Cantor
Si definimos un número de Cantor como miembro del conjunto de Cantor, entonces [16]
- (1) Cada número real en [0, 2] es la suma de dos números de Cantor.
- (2) Entre dos números de Cantor cualesquiera hay un número que no es un número de Cantor.
Teoría descriptiva de conjuntos
El conjunto de Cantor es un conjunto escaso (o un conjunto de primera categoría) como un subconjunto de [0,1] (aunque no como un subconjunto de sí mismo, ya que es un espacio de Baire ). El conjunto de Cantor demuestra así que no es necesario que coincidan las nociones de "tamaño" en términos de cardinalidad, medida y categoría (de Baire). Como el set, el conjunto de Cantor es "pequeño" en el sentido de que es un conjunto nulo (un conjunto de medida cero) y es un escaso subconjunto de [0,1]. Sin embargo, a diferencia de, que es contable y tiene una cardinalidad "pequeña", , la cardinalidad de es el mismo que el de [0,1], el continuo , y es "grande" en el sentido de cardinalidad. De hecho, también es posible construir un subconjunto de [0,1] que es magro pero de medida positiva y un subconjunto que no es magro pero de medida cero: [17] Tomando la unión contable de Cantor "gordo" conjuntos de medida (ver el conjunto Smith-Volterra-Cantor a continuación para la construcción), obtenemos un conjunto que tiene una medida positiva (igual a 1) pero es escasa en [0,1], ya que cada no es denso en ninguna parte. Entonces considere el conjunto. Desde, no puede ser exiguo, pero como , debe tener medida cero.
Variantes
Conjunto Smith – Volterra – Cantor
En lugar de eliminar repetidamente el tercio medio de cada pieza como en el conjunto de Cantor, también podríamos seguir eliminando cualquier otro porcentaje fijo (que no sea 0% y 100%) del medio. En el caso donde el medio 8/10del intervalo se elimina, obtenemos un caso notablemente accesible: el conjunto consta de todos los números en [0,1] que se pueden escribir como un decimal que consta completamente de 0 y 9. Si se elimina un porcentaje fijo en cada etapa, entonces el conjunto límite tendrá una medida cero, ya que la longitud del resto como para cualquier f tal que.
Por otro lado, se pueden generar "conjuntos gordos de Cantor" de medida positiva eliminando fracciones más pequeñas de la mitad del segmento en cada iteración. Por lo tanto, se pueden construir conjuntos homeomórficos al conjunto de Cantor que tienen una medida de Lebesgue positiva sin ser densos en ninguna parte. Si un intervalo de longitud () Se retira de la mitad de cada segmento en el n º iteración, entonces la longitud total extraído se, y el conjunto límite tendrá una medida de Lebesgue de. Así, en cierto sentido, el conjunto de Cantor de tercios medios es un caso límite con. Si, entonces el resto tendrá una medida positiva con . El casose conoce como el conjunto Smith-Volterra-Cantor , que tiene una medida de Lebesgue de.
Conjunto estocástico de Cantor
Se puede modificar la construcción del conjunto de Cantor dividiendo al azar en lugar de por igual. Además, para incorporar el tiempo podemos dividir solo uno de los intervalos disponibles en cada paso en lugar de dividir todos los intervalos disponibles. En el caso del conjunto estocástico triádico de Cantor, el proceso resultante se puede describir mediante la siguiente ecuación de tasas [11] [12]
y para el conjunto estocástico diádico de Cantor [18]
dónde es el número de intervalos de tamaño entre y . En el caso del conjunto triádico de Cantor, la dimensión fractal es que es menor que su contraparte determinista . En el caso del conjunto estocástico diádico de Cantor, la dimensión fractal es que es nuevamente menor que el de su contraparte determinista . En el caso de la diádica estocástica, Cantor fijó la solución paraexhibe escalamiento dinámico ya que su solución en el límite de tiempo largo es donde la dimensión fractal del conjunto estocástico diádico de Cantor . En cualquier caso, como en el conjunto triádico de Cantor, elel momento) del conjunto estocástico triádico y diádico de Cantor también son cantidades conservadas.
Polvo de Cantor
Cantor dust es una versión multidimensional del set Cantor. Puede formarse tomando un producto cartesiano finito del conjunto de Cantor consigo mismo, convirtiéndolo en un espacio de Cantor . Al igual que el conjunto de Cantor, el polvo de Cantor tiene medida cero . [19]
Un análogo 2D diferente del conjunto de Cantor es la alfombra Sierpinski , donde un cuadrado se divide en nueve cuadrados más pequeños y el del medio se elimina. Los cuadrados restantes se dividen en nueve cada uno y se quita el medio, y así sucesivamente hasta el infinito. [20] Un análogo 3D de esto es la esponja Menger .
Christopher Domas presentó una herramienta interactiva de visualización binaria basada en el polvo de cantor en Black Hat USA 2012. [21]
Observaciones históricas
El propio Cantor definió el conjunto de una manera general, abstracta, y mencionó la construcción ternaria solo de pasada, como ejemplo de una idea más general, la de un conjunto perfecto que no es denso en ninguna parte . El artículo original proporciona varias construcciones diferentes del concepto abstracto.
Este conjunto se habría considerado abstracto en el momento en que Cantor lo ideó. El propio Cantor fue llevado a ello por preocupaciones prácticas sobre el conjunto de puntos donde una serie trigonométrica podría fallar en la convergencia. El descubrimiento contribuyó en gran medida a que se encaminara hacia el desarrollo de una teoría general abstracta de los conjuntos infinitos .
Ver también
- Conjunto Smith – Volterra – Cantor
- Hexagramas (I Ching)
- Función de cantor
- Cubo de Cantor
- Collar de Antoine
- Copo de nieve de Koch
- Fan de Knaster – Kuratowski
- Lista de fractales por dimensión de Hausdorff
- Secuencia Moser – de Bruijn
Notas
- ↑ Smith, Henry JS (1874). "Sobre la integración de funciones discontinuas" . Actas de la London Mathematical Society . Primera serie. 6 : 140-153.
- ↑ El "conjunto de Cantor" también fue descubierto por Paul du Bois-Reymond (1831-1889). Ver du Bois-Reymond, Paul (1880), "Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung" , Mathematische Annalen (en alemán), 16 , nota al pie de la p. 128. El "conjunto Cantor" también fue descubierto en 1881 por Vito Volterra (1860-1940). Ver: Volterra, Vito (1881), "Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue" [Algunas observaciones sobre la función discontinua puntual], Giornale di Matematiche (en italiano), 19 : 76-86.
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enlaces externos
- "Conjunto de Cantor" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Conjuntos de Cantor y Conjunto y función de Cantor al cortar el nudo
- Cantor ambientado en Platonic Realms