En dinámica de fluidos y teoría invariante , un operador de Reynolds es un operador matemático que se obtiene promediando algo sobre una acción de grupo, que satisface un conjunto de propiedades llamadas reglas de Reynolds. En dinámica de fluidos, los operadores de Reynolds se encuentran a menudo en modelos de flujos turbulentos , particularmente en las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds , donde el promedio se toma típicamente sobre el flujo de fluidos bajo el grupo de traslaciones de tiempo. En la teoría invariante, el promedio a menudo se toma sobre un grupo compacto o un grupo algebraico reductivo que actúa sobre un álgebra conmutativa, como un anillo de polinomios. Los operadores de Reynolds fueron introducidos en la dinámica de fluidos por Osbourne Reynolds (1895 ) y nombrado por J. Kampé de Fériet ( 1934 , 1935 , 1949 ).
Definición
Los operadores de Reynolds se utilizan en dinámica de fluidos, análisis funcional y teoría invariante, y la notación y las definiciones en estas áreas difieren ligeramente. Un operador de Reynolds que actúa sobre φ a veces se denota por R ( φ ), P ( φ ), ρ ( φ ), 〈φ〉 o φ . Los operadores de Reynolds suelen ser operadores lineales que actúan sobre algún álgebra de funciones, satisfaciendo la identidad
- R ( R ( φ ) ψ ) = R ( φ ) R ( ψ ) para todo φ , ψ
ya veces algunas otras condiciones, como desplazamientos con diversas acciones grupales.
Teoría invariante
En la teoría invariante, un operador de Reynolds R suele ser un operador lineal que satisface
- R ( R ( φ ) ψ ) = R ( φ ) R ( ψ ) para todo φ , ψ
y
- R (1) = 1.
En conjunto, estas condiciones implican que R es idempotente : R 2 = R . El operador de Reynolds normalmente también se desplazará con alguna acción de grupo y se proyectará sobre los elementos invariantes de esta acción de grupo.
Análisis funcional
En análisis funcional, un operador de Reynolds es un operador lineal R que actúa sobre algún álgebra de funciones φ , satisfaciendo la identidad de Reynolds
- R ( φψ ) = R ( φ ) R ( ψ ) + R (( φ - R ( φ )) ( ψ - R ( ψ ))) para todo φ , ψ
El operador R se llama operador de promediado si es lineal y satisface
- R ( R ( φ ) ψ ) = R ( φ ) R ( ψ ) para todo φ , ψ .
Si R ( R ( φ )) = R ( φ ) para todo φ, entonces R es un operador de promedio si y solo si es un operador de Reynolds. A veces, la condición R ( R ( φ )) = R ( φ ) se agrega a la definición de los operadores de Reynolds.
Dinámica de fluidos
Dejar y ser dos variables aleatorias, y ser una constante arbitraria. Entonces las propiedades satisfechas por los operadores de Reynolds, para un operador incluyen la linealidad y la propiedad de promediado:
- lo que implica
Además, a menudo se supone que el operador de Reynolds se desplaza con traducciones de espacio y tiempo:
Cualquier operador que satisfaga estas propiedades es un operador de Reynolds. [1]
Ejemplos de
Los operadores de Reynolds a menudo se obtienen proyectando sobre un subespacio invariante de una acción de grupo.
- El "operador de Reynolds" considerado por Reynolds (1895) fue esencialmente la proyección de un flujo de fluido al flujo de fluido "promedio", que puede considerarse como una proyección a flujos invariantes en el tiempo. Aquí la acción de grupo viene dada por la acción del grupo de traducciones de tiempo.
- Supongamos que G es un grupo algebraico reductora o un compacto grupo, y V es una representación de dimensión finita de G . Entonces G también actúa sobre el álgebra simétrica SV de polinomios. El Reynolds operador R es la G de proyección -invariant de SV para el subanillo SV G de elementos fijados por G .
Referencias
- Kampé de Fériet, J. (1934), La Science Aérienne , 3 : 9–34 Falta o vacío
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( ayuda ) - Kampé de Fériet, J. (1935), La Science Aérienne , 4 : 12–52 Falta o vacío
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( ayuda ) - Kampé de Fériet, J. (1949), "Sur un problème d'algèbre abstraite posé par la définition de la moyenne dans la théorie de la turbulence", Annales de la Société Scientifique de Bruxelles. Série I. Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques , 63 : 165–180, ISSN 0037-959X , MR 0032718
- Reynolds, O. (1895), "Sobre la teoría dinámica de los fluidos viscosos incompresibles y la determinación del criterio" (PDF) , Philosophical Transactions of the Royal Society A , 186 : 123-164, Bibcode : 1895RSPTA.186..123R , doi : 10.1098 / rsta.1895.0004 , JSTOR 90643
- Rota, Gian-Carlo (2003), Gian-Carlo Rota sobre análisis y probabilidad , Matemáticos contemporáneos, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4275-4, MR 1944526 Reimprime varios de los artículos de Rota sobre los operadores de Reynolds, con comentarios.
- Rota, Gian-Carlo (1964), "Operadores de Reynolds", Proc. Simpos. Apl. Matemáticas. , XVI , Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 70–83, MR 0161140
- Sturmfels, Bernd (1993), Algoritmos en teoría invariante , Textos y monografías en computación simbólica, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-7091-4368-1 , ISBN 978-3-211-82445-0, MR 1255980