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Este artículo trata sobre el matemático estadounidense. Para otras personas llamadas Richard Hamilton, vea Richard Hamilton .
Richard Hamilton
Richard Hamilton.jpg
Hamilton en 1982
Nació( 19 de diciembre de 1943 )19 de diciembre de 1943 (77 años)
Cincinnati, Ohio , Estados Unidos
Nacionalidadamericano
alma materUniversidad de Yale Universidad de
Princeton
Conocido porFlujo de Ricci
de Hamilton Teorema del punto fijo de Earle-Hamilton Teorema de
Gage-Hamilton-Grayson
Desigualdades de Li-Yau-Hamilton
Teorema de Nash-Moser
PremiosPremio Veblen (1996)
Premio Clay Research (2003)
Premio Leroy P. Steele (2009)
Premio Shaw (2011)
Carrera científica
CamposMatemáticas
InstitucionesUniversidad de Cornell Universidad
de California, San Diego
Universidad de Columbia
TesisVariación de estructura en superficies de Riemann  (1969)
Asesor de doctoradoRobert Gunning
Estudiantes de doctoradoMartín Lo

Richard Streit Hamilton (nacido el 19 de diciembre de 1943) es profesor de Matemáticas Davies en la Universidad de Columbia . Es conocido por sus contribuciones al análisis geométrico y ecuaciones diferenciales parciales . Hizo contribuciones fundamentales a la teoría del flujo de Ricci y su uso en la resolución de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización en el campo de la topología geométrica .

Biografía [ editar ]

Recibió su licenciatura en 1963 de la Universidad de Yale y su doctorado. en 1966 de la Universidad de Princeton . Robert Gunning supervisó su tesis. Hamilton ha enseñado en la Universidad de California, Irvine , la Universidad de California, San Diego , la Universidad de Cornell y la Universidad de Columbia .

Las contribuciones matemáticas de Hamilton se encuentran principalmente en el campo de la geometría diferencial y más específicamente en el análisis geométrico . Es más conocido por haber descubierto el flujo de Ricci y haber iniciado un programa de investigación que finalmente condujo a la demostración, por Grigori Perelman , de la conjetura de geometrización de Thurston y la solución de la conjetura de Poincaré . En agosto de 2006, a Perelman se le otorgó, pero se negó, la Medalla Fields por su prueba, en parte citando el trabajo de Hamilton como fundamental.

Hamilton recibió el Premio Oswald Veblen en Geometría en 1996 y el Premio Clay de Investigación en 2003. Fue elegido miembro de la Academia Nacional de Ciencias en 1999 y de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias en 2003. También recibió el AMS Leroy P. Steele Premio a una contribución fundamental a la investigación en 2009, por su artículo de 1982 Tres variedades con curvatura de Ricci positiva , en el que introdujo el flujo de Ricci.

El 18 de marzo de 2010, se anunció que Perelman había cumplido con los criterios para recibir el primer Premio Clay Millennium por su prueba de la conjetura de Poincaré. [1] El 1 de julio de 2010, Perelman rechazó el premio, diciendo que cree que su contribución para probar la conjetura de Poincaré no fue mayor que la de Hamilton, quien sugirió por primera vez un programa para la solución.

En junio de 2011, se anunció que el premio Shaw de un millón de dólares se dividiría en partes iguales entre Hamilton y Demetrios Christodoulou por sus trabajos altamente innovadores sobre ecuaciones diferenciales parciales no lineales en geometría lorentziana y riemanniana y sus aplicaciones a la relatividad general y la topología. [2] [3]

Trabajo matemático [ editar ]

A partir de 2020, Hamilton ha sido autor de alrededor de cincuenta artículos de investigación, alrededor de cuarenta de los cuales están en el campo de los flujos geométricos .

Desigualdades de Harnack para ecuaciones de calor [ editar ]

En 1986, Peter Li y Shing-Tung Yau descubrieron un nuevo método para aplicar el principio máximo para controlar las soluciones de la ecuación de calor . [4] Entre otros resultados, mostraron que si uno tiene una solución positiva u de la ecuación de calor en una variedad Riemanniana cerrada de curvatura de Ricci no negativa , entonces uno tiene

para cualquier vector tangente v . Estas desigualdades, conocidas como "desigualdades diferenciales de Harnack" o "desigualdades de Li-Yau", son útiles ya que pueden integrarse a lo largo de trayectorias para comparar los valores de u en dos puntos del espacio-tiempo cualesquiera. También dan directamente información puntual acerca de u , tomando v como cero.

En 1993, Hamilton demostró que los cálculos de Li y Yau podían extenderse para mostrar que su desigualdad diferencial de Harnack era una consecuencia de una desigualdad de matriz más fuerte. [H93a] Su resultado requería que la variedad Riemanniana cerrada tuviera una curvatura seccional no negativa y un tensor de Ricci paralelo (como el toro plano o la métrica del Estudio Fubini en el espacio proyectivo complejo ), en ausencia del cual obtuvo un resultado ligeramente más débil. Estas desigualdades matriciales a veces se conocen como desigualdades de Li-Yau-Hamilton .

Hamilton también descubrió que la metodología Li-Yau podría adaptarse al flujo de Ricci . En el caso de las variedades bidimensionales, descubrió que el cálculo de Li y Yau se puede adaptar directamente a la curvatura escalar a lo largo del flujo de Ricci. [H88] En dimensiones generales, mostró que el tensor de curvatura de Riemann satisface una desigualdad complicada, formalmente análoga a su extensión matricial de la desigualdad de Li-Yau, en el caso de que el operador de curvatura no sea negativo. [H93b] Como consecuencia algebraica inmediata, la curvatura escalar satisface una desigualdad que es casi idéntica a la de Li y Yau.

Teorema de Nash-Moser [ editar ]

En 1956, John Nash resolvió el problema de incrustar de forma suave y isométrica las variedades riemannianas en el espacio euclidiano. [5] El núcleo de su demostración era un resultado novedoso de "pequeña perturbación", que mostraba que si una métrica de Riemann se podía incrustar isométricamente de una determinada manera, cualquier métrica de Riemann cercana también se podía incrustar isométricamente. Tal resultado recuerda mucho a un teorema de función implícita , y muchos autores han intentado poner la lógica de la demostración en el marco de un teorema general. Estos teoremas se conocen ahora como teoremas de Nash-Moser .

En 1982, Hamilton publicó su formulación del razonamiento de Nash, colocando el teorema en el marco de los espacios domesticados de Fréchet ; El uso fundamental de Nash de restringir la transformada de Fourier para regularizar funciones fue abstraído por Hamilton a la configuración de secuencias exponencialmente decrecientes en espacios de Banach . [H82a] Su formulación ha sido ampliamente citada y utilizada posteriormente. Él mismo lo usó para probar un teorema general de existencia y unicidad para las ecuaciones de evolución geométrica; el teorema estándar de la función implícita no se aplica a menudo en tales entornos debido a las degeneraciones introducidas por la invariancia bajo la acción del grupo de difeomorfismos . [H82b]En particular, la buena posición del flujo de Ricci se deriva del resultado general de Hamilton. Aunque Dennis DeTurck dio una prueba más simple en el caso particular del flujo de Ricci, el resultado de Hamilton se ha utilizado para algunos otros flujos geométricos para los que el método de DeTurck es inaccesible.

Flujo de calor del mapa armónico [ editar ]

En 1964, James Eells y Joseph Sampson iniciaron el estudio del flujo de calor del mapa armónico , utilizando un teorema de convergencia para el flujo para mostrar que cualquier mapa uniforme de un colector cerrado a un colector cerrado de curvatura no positiva se puede deformar a un mapa armónico . En 1975, Hamilton consideró el problema de valor límite correspondiente para este flujo, demostrando un resultado análogo al de Eells y Sampson para la condición de Dirichlet y la condición de Neumann . [H75] La naturaleza analítica del problema es más delicada en este contexto, ya que la aplicación clave de Eells y Sampson del principio máximo alLa fórmula parabólica de Bochner no se puede llevar a cabo trivialmente, debido al hecho de que el tamaño del gradiente en el límite no está controlado automáticamente por las condiciones del límite.

Al tomar los límites de las soluciones de Hamilton del problema del valor de frontera para límites cada vez más grandes, Richard Schoen y Shing-Tung Yau observaron que un mapa de energía finita desde una variedad Riemanniana completa a una variedad Riemanniana cerrada de curvatura no positiva podría deformarse en un mapa armónico. de energía finita. [6] Al demostrar la extensión del teorema de desaparición de Eells y Sampson en varios entornos geométricos, pudieron sacar conclusiones geométricas sorprendentes, como que si ( M , g ) es una variedad Riemanniana completa de curvatura de Ricci no negativa , entonces para cualquier precompacto abierto establecer Dcon un límite suave y simplemente conectado, no puede existir un homomorfismo no trivial del grupo fundamental de D en ningún grupo que sea el grupo fundamental de una variedad Riemanniana cerrada de curvatura no positiva.

Flujo de curvatura medio [ editar ]

En 1986, Hamilton y Michael Gage aplicaron el teorema de Nash-Moser de Hamilton y el resultado de la posición correcta de las ecuaciones parabólicas para demostrar la posición correcta para el flujo de curvatura media ; consideraron el caso general de una familia de inmersiones de un parámetro de una variedad cerrada en una variedad riemanniana suave. [GH86] Luego, se especializaron en el caso de inmersiones del círculo S 1 en el espacio euclidiano bidimensional ℝ 2 , que es el contexto más simple para el flujo de acortamiento de curvas . Usando el principio máximoaplicado a la distancia entre dos puntos en una curva, demostraron que si la inmersión inicial es una incrustación, todas las inmersiones futuras en el flujo de curvatura media también son incrustaciones. Además, la convexidad de las curvas se conserva en el futuro.

El resultado principal de Gage y Hamilton es que, dada cualquier incrustación suave S 1 → ℝ 2 que sea convexa, el flujo de curvatura media correspondiente existe durante una cantidad finita de tiempo, y a medida que el tiempo se acerca a su valor máximo, las curvas asintóticamente se vuelven cada vez más pequeñas y circular. [GH86] Hicieron uso de resultados anteriores de Gage, así como algunos resultados especiales para curvas, como la desigualdad de Bonnesen .

En 1987, Matthew Grayson demostró un resultado complementario, mostrando que para cualquier incrustación suave S 1 → ℝ 2 , el correspondiente flujo de curvatura media eventualmente se vuelve convexo. [7] En combinación con el resultado de Gage y Hamilton, se tiene esencialmente una descripción completa del comportamiento asintótico del flujo de curvatura media de los círculos incrustados en ℝ 2 . Este resultado se conoce a veces como el teorema de Gage-Hamilton-Grayson . Es algo sorprendente que exista un medio tan sistemático y geométricamente definido de deformar un bucle arbitrario en ℝ 2 en un círculo redondo.

La comprensión moderna de los resultados de Gage-Hamilton y de Grayson generalmente trata ambos escenarios a la vez, sin la necesidad de mostrar que las curvas arbitrarias se vuelven convexas y estudiar por separado el comportamiento de las curvas convexas. Sus resultados también pueden extenderse a entornos distintos al flujo de curvatura media. [8]

Ricci flow [ editar ]

Hamilton extendió el principio de máximo para ecuaciones diferenciales parciales parabólicas al establecimiento de 2-tensores simétricos que satisfacen ecuaciones diferenciales parciales parabólicas. [H82b] También puso esto en la configuración general de una sección dependiente de parámetros de un paquete de vectores sobre una variedad cerrada que satisface una ecuación de calor, dando formulaciones fuertes y débiles. [H86]

En parte debido a estos desarrollos técnicos fundamentales, Hamilton pudo dar una comprensión esencialmente completa de cómo se comporta el flujo de Ricci en variedades cerradas tridimensionales de Riemann de curvatura de Ricci positiva [H82b] y curvatura de Ricci no negativa [H86] , variedades de Riemann cerradas de cuatro dimensiones de operador de curvatura positivo o no negativo [H86] , y variedades de Riemannian cerradas bidimensionales de característica de Euler no positiva o de curvatura positiva [H88]. En cada caso, después de normalizaciones apropiadas, el flujo de Ricci deforma la métrica de Riemann dada a una de curvatura constante. Esto tiene corolarios inmediatos sorprendentemente simples, como el hecho de que cualquier variedad 3 suave cerrada que admita una métrica de Riemann de curvatura positiva también admite una métrica de Riemann de curvatura de sección positiva constante. Estos resultados son notables por restringir en gran medida la topología de tales variedades; las formas espaciales de curvatura positiva se comprenden en gran medida. Hay otros corolarios, como el hecho de que el espacio topológico de la métrica de Riemann de la curvatura de Ricci positiva en una variedad 3 lisa cerrada está conectado por una trayectoria. Estos "teoremas de convergencia" de Hamilton han sido ampliados por autores posteriores, en la década de 2000, para dar una prueba de lateorema de la esfera diferenciable , que había sido una conjetura importante en la geometría de Riemann desde la década de 1960.

En 1995, Hamilton extendió la teoría de la compacidad de Jeff Cheeger para variedades de Riemann para dar un teorema de compacidad para secuencias de flujos de Ricci. [H95a] Dado un flujo de Ricci en una variedad cerrada con una singularidad de tiempo finito, Hamilton desarrolló métodos de cambio de escala alrededor de la singularidad para producir una secuencia de flujos de Ricci; la teoría de la compacidad asegura la existencia de un flujo de Ricci limitante, que modela la geometría a pequeña escala de un flujo de Ricci alrededor de un punto singular. [H95b] Hamilton usó sus principios máximos para demostrar que, para cualquier flujo de Ricci en un colector tridimensional cerrado, el valor más pequeño de la curvatura seccionales pequeño en comparación con su valor más grande. Esto se conoce como estimación de Hamilton-Ivey; es extremadamente significativa como una desigualdad de curvatura que se mantiene sin supuestos condicionales más allá de la tridimensionalidad. Una consecuencia importante es que, en tres dimensiones, un flujo de Ricci limitante producido por la teoría de la compacidad tiene automáticamente una curvatura no negativa. [H95b] Como tal, la desigualdad de Harnack de Hamilton es aplicable al flujo de Ricci limitante. Estos métodos fueron extendidos por Grigori Perelman , quien debido a su "teorema de no colapso" pudo aplicar la teoría de la compacidad de Hamilton en varios contextos extendidos.

En 1997, Hamilton pudo combinar los métodos que había desarrollado para definir el "flujo de Ricci con cirugía" para las variedades riemannianas de cuatro dimensiones de curvatura isotrópica positiva. [H97] Para los flujos de Ricci con datos iniciales en esta clase, pudo clasificar las posibilidades para la geometría a pequeña escala alrededor de puntos con gran curvatura y, por lo tanto, modificar sistemáticamente la geometría para continuar el flujo de Ricci. Como consecuencia, obtuvo un resultado que clasifica las variedades lisas de cuatro dimensiones que apoyan las métricas de Riemann de curvatura isotrópica positiva. Shing-Tung Yauha descrito este artículo como el "evento más importante" en el análisis geométrico en el período posterior a 1993, marcándolo como el punto en el que quedó claro que podría ser posible probar la conjetura de geometrización de Thurston mediante los métodos de flujo de Ricci. Lo esencial pendiente fue realizar una clasificación análoga, para la geometría de pequeña escala alrededor de puntos de alta curvatura en los flujos de Ricci en colectores tridimensionales, sin ninguna restricción de curvatura; la estimación de la curvatura de Hamilton-Ivey es análoga a la condición de curvatura isotrópica positiva. Esto fue resuelto por Grigori Perelmanen su famoso "teorema canónico de los vecindarios". Partiendo de este resultado, Perelman modificó la forma del procedimiento quirúrgico de Hamilton para definir un "flujo de Ricci con cirugía" dada una métrica riemanniana suave arbitraria en una variedad tridimensional cerrada. Esto llevó a la resolución de la conjetura de geometrización en 2003.

Publicaciones importantes [ editar ]

La colección

  • Artículos recopilados sobre el flujo de Ricci. Editado por HD Cao, B. Chow, SC Chu y ST Yau. Series in Geometry and Topology, 37. International Press, Somerville, MA, 2003. viii + 539 págs. ISBN  1-57146-110-8

contiene [H82b] , [H86] , [H88] , [H93b] , [H95a] , [H95b] y [H97] , además de otros cinco artículos de Hamilton y diez artículos de otros autores.

Ver también [ editar ]

  • Teorema del punto fijo de Earle-Hamilton
  • Flujo de Yamabe

Referencias [ editar ]

  1. ^ "La conjetura de Poincaré" . Archivado desde el original el 27 de julio de 2013.
  2. ^ $ 500,000 para el matemático que sentó las bases de Poincaré
  3. ^ Premio Shaw en Estudios Matemáticos 2011
  4. ^ Peter Li y Shing-Tung Yau. Sobre el núcleo parabólico del operador de Schrödinger. Acta Math. 156 (1986), núm. 3-4, 153-201.
  5. ^ John Nash. El problema de la incrustación para las variedades riemannianas. Ana. de Matemáticas. (2) 63 (1956), 20–63.
  6. ^ Richard Schoen y Shing Tung Yau. Mapas de armónicos y topología de hipersuperficies estables y variedades con curvatura de Ricci no negativa. Comentario. Matemáticas. Helv. 51 (1976), núm. 3, 333–341.
  7. ^ Matthew A. Grayson. La ecuación de calor reduce las curvas planas incrustadas a puntos redondos. J. Geom diferencial. 26 (1987), núm. 2, 285–314.
  8. ^ Ben Andrews. Evolución de las curvas convexas. Calc. Var. Ecuaciones diferenciales parciales 7 (1998), no. 4, 315–371.

Enlaces externos [ editar ]

Medios relacionados con Richard Hamilton (matemático) en Wikimedia Commons

  • Richard Hamilton en el Proyecto de genealogía matemática
  • Richard Hamilton - biografía de la facultad en la página de inicio del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Columbia
  • Richard Hamilton - breve biografía en la página de inicio del Clay Mathematics Institute
  • Cita del Premio Veblen 1996
  • Conferencia de Hamilton sobre Ricci flow
  • "Autobiografía de Richard S Hamilton" . La Fundación Premio Shaw. 2011-09-28.