El análisis geométrico es una disciplina matemática donde se utilizan herramientas de ecuaciones diferenciales , especialmente ecuaciones diferenciales parciales elípticas, para establecer nuevos resultados en geometría diferencial y topología diferencial . El uso de lineales fechas PDE elípticas al menos tan atrás como la teoría de Hodge . Más recientemente, se refiere en gran parte al uso de ecuaciones diferenciales parciales no lineales para estudiar las propiedades geométricas y topológicas de los espacios, como las subvariedades del espacio euclidiano , las variedades de Riemann y las variedades simplécticas.. Este enfoque se remonta al trabajo de Tibor Radó y Jesse Douglas sobre superficies mínimas , John Forbes Nash Jr. sobre incrustaciones isométricas de variedades riemannianas en el espacio euclidiano, trabajo de Louis Nirenberg sobre el problema de Minkowski y el problema de Weyl, y trabajo de Aleksandr Danilovich Aleksandrov y Aleksei Pogorelov sobre hipersuperficies convexas . En la década de 1980, contribuciones fundamentales de Karen Uhlenbeck , [1] Clifford Taubes , Shing-Tung Yau , Richard Schoen y Richard Hamilton iniciaron una era particularmente emocionante y productiva de análisis geométrico que continúa hasta el día de hoy. Un logro celebrado fue la solución a la conjetura de Poincaré de Grigori Perelman , completando un programa iniciado y llevado a cabo en gran parte por Richard Hamilton.
Alcance [ editar ]
El alcance del análisis geométrico incluye tanto el uso de métodos geométricos en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales (cuando también se conoce como "PDE geométrica"), y la aplicación de la teoría de ecuaciones diferenciales parciales a la geometría. Incorpora problemas que involucran curvas y superficies, o dominios con límites curvos, pero también el estudio de variedades de Riemann en dimensión arbitraria. El cálculo de variaciones a veces se considera parte del análisis geométrico, porque las ecuaciones diferenciales que surgen de principios variacionales tienen un fuerte contenido geométrico. El análisis geométrico también incluye el análisis global , que se refiere al estudio de ecuaciones diferenciales en variedadesy la relación entre ecuaciones diferenciales y topología .
La siguiente es una lista parcial de los temas principales dentro del análisis geométrico:
- Teoría del calibre
- Mapas de armónicos
- Métricas de Kähler-Einstein
- Flujo de curvatura media
- Subvariedades mínimas
- Teoremas de la energía positiva
- Curvas pseudoholomorfas
- Flujo de Ricci
- Problema de Yamabe
- Ecuaciones de Yang-Mills
Referencias [ editar ]
- ^ Jackson, Allyn. (2019). Fundador del análisis geométrico galardonado con el premio Abel. Recuperado el 20 de marzo de 2019.
Lectura adicional [ editar ]
- Schoen, Richard ; Yau, Shing Tung (2010). Conferencias sobre Geometría Diferencial . Prensa Internacional de Boston. ISBN 978-1-571-46198-8.
- Andrews, Ben (2010). El flujo de Ricci en la geometría riemanniana: una prueba completa del teorema de la esfera diferenciable de 1/4 pellizco (1ª ed.). Saltador. ISBN 978-3-642-16285-5.
- Jost, Jürgen (2005). Geometría riemanniana y análisis geométrico (4ª ed.). Saltador. ISBN 978-3-540-25907-7.
- Lee, Jeffrey M. (2009). Colectores y geometría diferencial . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-4815-9.
- Helgason, Sigurdur (2000). Grupos y Análisis Geométrico (Geometría Integral, Operadores Diferenciales Invariantes y Funciones Esféricas) (2ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-2673-7.
- Helgason, Sigurdur (2008). Análisis geométrico en espacios simétricos (2ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-4530-1.
