Iteración de Richardson modificada

---

La iteración de Richardson modificada es un método iterativo para resolver un sistema de ecuaciones lineales . La iteración de Richardson fue propuesta por Lewis Fry Richardson en su trabajo de 1910. Es similar al método de Jacobi y Gauss-Seidel .

donde es un parámetro escalar que debe elegirse de manera que la secuencia converja.${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle x ^ {(k)}}$

Es fácil ver que el método tiene los puntos fijos correctos , porque si converge, entonces y tiene que aproximarse a una solución de .${\ Displaystyle x ^ {(k + 1)} \ approx x ^ {(k)}}$${\ Displaystyle x ^ {(k)}}$${\ Displaystyle Ax = b}$

Restando la solución exacta e introduciendo la notación del error , obtenemos la igualdad de los errores.${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle e ^ {(k)} = x ^ {(k)} - x}$

para cualquier norma vectorial y la correspondiente norma de matriz inducida. Por tanto, si el método converge.${\ Displaystyle \ | I- \ omega A \ | <1}$

Supongamos que es simétrico positivo definido y que son los valores propios de . El error converge a si para todos los valores propios . Si, por ejemplo, todos los valores propios son positivos, esto puede garantizarse si se elige de tal manera que . La elección óptima, minimizando todo , es , que da la iteración de Chebyshev más simple . Esta elección óptima produce un radio espectral de ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle (\ lambda _ {j}) _ {j}}$${\ Displaystyle A}$${\ displaystyle 0}$${\ Displaystyle | 1- \ omega \ lambda _ {j} | <1}$${\ Displaystyle \ lambda _ {j}}$${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle 0 <\ omega <\ omega _ {\ text {max}} \ ,, \ \ omega _ {\ text {max}}: = 2 / \ lambda _ {\ text {max}} (A)}$${\ Displaystyle | 1- \ omega \ lambda _ {j} |}$${\ Displaystyle \ omega _ {\ text {opt}}: = 2 / (\ lambda _ {\ text {min}} (A) + \ lambda _ {\ text {max}} (A))}$

---