Ecuación diferencial de Riemann
En matemáticas , la ecuación diferencial de Riemann , llamada así por Bernhard Riemann , es una generalización de la ecuación diferencial hipergeométrica , que permite que los puntos singulares regulares se presenten en cualquier parte de la esfera de Riemann , en lugar de simplemente en 0, 1 y . La ecuación también se conoce como la ecuación de Papperitz . [1]
La ecuación diferencial hipergeométrica es una ecuación diferencial lineal de segundo orden que tiene tres puntos singulares regulares, 0, 1 y . Esa ecuación admite dos soluciones linealmente independientes; cerca de una singularidad , las soluciones toman la forma , donde es una variable local, y es localmente holomorfa con . El número real se llama exponente de la solución en . Sean α , β y γ los exponentes de una solución en 0, 1 y respectivamente; y sean α' , β' y γ' las del otro. Luego
Al aplicar cambios de variable adecuados, es posible transformar la ecuación hipergeométrica: la aplicación de transformaciones de Möbius ajustará las posiciones de los puntos singulares regulares, mientras que otras transformaciones (ver a continuación) pueden cambiar los exponentes en los puntos singulares regulares, sujeto a los exponentes sumando hasta 1.
Los puntos singulares regulares son a , b y c . Los exponentes de las soluciones en estos puntos singulares regulares son, respectivamente, α ; α' , β ; β' y γ ; γ′ . Como antes, los exponentes están sujetos a la condición
Las funciones P obedecen a una serie de identidades; uno de ellos permite expresar una función P general en términos de la función hipergeométrica. Está
El complemento completo de las 24 soluciones de Kummer se puede obtener de esta manera; consulte el artículo ecuación diferencial hipergeométrica para un tratamiento de las soluciones de Kummer.