Integral de Riemann
En la rama de las matemáticas conocida como análisis real , la integral de Riemann , creada por Bernhard Riemann , fue la primera definición rigurosa de la integral de una función en un intervalo . Se presentó a la facultad de la Universidad de Gotinga en 1854, pero no se publicó en una revista hasta 1868. [1] Para muchas funciones y aplicaciones prácticas, la integral de Riemann puede evaluarse mediante el teorema fundamental del cálculo o aproximarse mediante integración numérica. .
sea la región del plano debajo de la gráfica de la función f y por encima del intervalo [ a , b ] (vea la figura en la parte superior derecha). Estamos interesados en la medición del área de S . Una vez la hayamos medido, denotaremos el área por:
La idea básica de la integral de Riemann es utilizar aproximaciones muy simples para el área de S . Al tomar cada vez mejores aproximaciones, podemos decir que "en el límite" obtenemos exactamente el área de S debajo de la curva.
Cuando f ( x ) puede tomar valores negativos, la integral es igual al área con signo entre la gráfica de f y el eje x : es decir, el área sobre el eje x menos el área debajo del eje x .
Cada [ x i , x i + 1 ] se denomina subintervalo de la partición. La malla o norma de una partición se define como la longitud del subintervalo más largo, es decir,
Una partición etiquetada P ( x , t ) de un intervalo [ a , b ] es una partición junto con una secuencia finita de números t 0 , ..., t n - 1 sujeto a las condiciones que para cada i , t i ∈ [ x i , x i + 1 ] . En otras palabras, es una partición junto con un punto distinguido de cada subintervalo. La malla de una partición etiquetada es la misma que la de una partición ordinaria.
