Serie de potencias formales

En matemáticas , y especialmente en álgebra , una serie formal es una suma infinita que se considera independientemente de cualquier noción de convergencia , y puede manipularse con las operaciones algebraicas habituales sobre series (suma, resta, multiplicación, división, sumas parciales , etc. ).

Una serie de potencias formales es un tipo especial de serie formal, cuyos términos son de la forma donde es la potencia-ésima de una variable ( es un número entero no negativo ), y se denomina coeficiente. Por lo tanto, la serie de potencias puede verse como una generalización de polinomios , donde se permite que el número de términos sea infinito, sin requisitos de convergencia. Por lo tanto, la serie ya no puede representar una función de su variable, sino simplemente una secuencia formal de coeficientes, en contraste con una serie de potencias , que define una función tomando valores numéricos para la variable dentro de un radio de convergencia. En una serie formal de potencias, la $hacha^{n}$ ${\ estilo de visualización x^{n}}$ ${\ estilo de visualización n}$ ${\ estilo de visualización x}$ ${\ estilo de visualización n}$ ${\ estilo de visualización a}$ ${\ estilo de visualización x^{n}}$ se utilizan solo como marcadores de posición para los coeficientes, de modo que el coeficiente de es el quinto término de la secuencia. En combinatoria , el método de generación de funciones utiliza series de potencias formales para representar secuencias numéricas y conjuntos múltiples , por ejemplo, permitiendo expresiones concisas para secuencias definidas recursivamente , independientemente de si la recurrencia se puede resolver explícitamente. De manera más general, las series de potencias formales pueden incluir series con cualquier número finito (o contable) de variables y con coeficientes en un anillo arbitrario . ${\ estilo de visualización x^{5}}$

Los anillos de series de potencias formales son anillos locales completos , y esto permite utilizar métodos similares al cálculo en el marco puramente algebraico de la geometría algebraica y el álgebra conmutativa . Son análogos en muchos aspectos a los enteros $p$ -ádicos , que pueden definirse como series formales de las potencias de $p$ .

Una serie de potencias formales puede considerarse vagamente como un objeto que es como un polinomio , pero con una cantidad infinita de términos. Alternativamente, para aquellos familiarizados con las series de potencias (o series de Taylor ), uno puede pensar en una serie de potencias formal como una serie de potencias en la que ignoramos las cuestiones de convergencia al no suponer que la variable X denota ningún valor numérico (ni siquiera un valor desconocido). ). Por ejemplo, considere la serie

Si estudiáramos esto como una serie de potencias, sus propiedades incluirían, por ejemplo, que su radio de convergencia es 1. Sin embargo, como una serie de potencias formal, podemos ignorar esto por completo; todo lo que es relevante es la secuencia de coeficientes [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. En otras palabras, una serie de potencias formal es un objeto que solo registra una secuencia de coeficientes. Es perfectamente aceptable considerar una serie de potencias formal con los factoriales [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ... ] como coeficientes, aunque la serie de potencias correspondiente diverja para cualquier valor de X distinto de cero .

La aritmética de las series de potencias formales se realiza simplemente simulando que las series son polinomios. Por ejemplo, si