El procedimiento de cuchilla giratoria de Robertson-Webb es un procedimiento para cortar sin envidias una torta bidimensional entre tres socios. [1] : 77–78 Hace solo dos cortes, por lo que cada socio recibe una sola pieza conectada.
Su principal ventaja sobre el anterior procedimiento de cuchillos móviles de Stromquist y el posterior procedimiento de cuchillos móviles de Barbanel-Brams es que solo requiere un único cuchillo móvil. Esta ventaja utiliza la naturaleza bidimensional del pastel.
Procedimiento
Inicialmente, cada socio hace un corte vertical de modo que el pastel a su izquierda valga para él exactamente 1/3. Se selecciona el corte más a la izquierda. Supongamos que este corte pertenece a Alice. Entonces Alice recibe la pieza más a la izquierda y su valor es exactamente 1/3. El resto debe dividirse entre los socios restantes (Bob y Carl).
Tenga en cuenta que la parte de Alice vale como máximo 1/3 y el resto vale al menos 2/3 para Bob y Carl. Entonces, si Bob y Carl reciben cada uno al menos la mitad del resto, no envidian. El desafío es asegurarse de que Alice no envidie a ninguno de ellos.
La solución se basa en la siguiente observación: Para cada ángulo, Alice puede poner un cuchillo en ángulo y cortó el resto en dos mitades iguales a sus ojos . Esto significa que Alice puede girar un cuchillo sobre el resto de modo que las partes de los dos lados del cuchillo sean siempre iguales a sus ojos.
Cuando el cuchillo está en el ángulo 0, Bob (débilmente) prefiere la pieza sobre el cuchillo o la pieza debajo del cuchillo; cuando la cuchilla forma un ángulo de 180, las piezas se invierten. Por tanto, según el teorema del valor intermedio , debe haber un ángulo en el que Bob piense que las piezas de ambos lados del cuchillo son iguales. En este ángulo, Bob grita "¡Alto!". Se corta el pastel, Carl elige un trozo y Bob recibe el otro trozo.
Análisis
Alice no tiene envidia porque para ella, las tres piezas valen exactamente 1/3.
Bob y Carl no envidian a Alice porque su pieza vale como máximo 1/3 y su pieza al menos (1/2) * (2/3) = 1/3.
Bob no envidia a Carl porque sus piezas son iguales a sus ojos; Carl no envidia a Bob porque eligió la mejor pieza en sus ojos.
Dividiendo un pastel 'malo'
El procedimiento de cuchilla giratoria se puede adaptar para la división de tareas , dividiendo un pastel con un valor negativo: [1] : ejercicio 5.10 en el paso inicial. Se debe seleccionar el corte más a la derecha , en lugar del corte más a la izquierda.