En análisis matemático , el teorema del valor intermedio establece que si f es una función continua cuyo dominio contiene el intervalo [ a , b ], entonces toma cualquier valor dado entre f ( a ) yf ( b ) en algún punto dentro del intervalo. .
Esto tiene dos corolarios importantes :
Motivación
Esto captura una propiedad intuitiva de las funciones continuas sobre los números reales : dado f continuo en [1, 2] con los valores conocidos f (1) = 3 yf (2) = 5, entonces la gráfica de y = f ( x ) debe pasar por la línea horizontal y = 4 mientras x se mueve de 1 a 2. Representa la idea de que la gráfica de una función continua en un intervalo cerrado se puede dibujar sin levantar un lápiz del papel.
Teorema
El teorema del valor intermedio establece lo siguiente:
Considere un intervalo de números reales y una función continua . Luego
- Versión I. si es un número entre y ,
- es decir, ,
- entonces hay un tal que .
- Versión II. el conjunto de imágenes es también un intervalo, y contiene ,
Observación: La versión II establece que el conjunto de valores de función no tiene espacio. Para dos valores de función cualesquiera, incluso si están fuera del intervalo entre y , todos los puntos del intervalo también son valores de función,
- .
Un subconjunto de números reales sin brecha interna es un intervalo. La Versión I está naturalmente contenida en la Versión II .
Relación con la integridad
El teorema depende y es equivalente a la completitud de los números reales . El teorema del valor intermedio no se aplica a los números racionales ℚ porque existen espacios entre los números racionales; los números irracionales llenan esos vacíos. Por ejemplo, la función por satisface y . Sin embargo, no existe un número racional tal que , porque es un número irracional.
Prueba
El teorema puede demostrarse como consecuencia de la propiedad de completitud de los números reales de la siguiente manera: [2]
Demostraremos el primer caso, . El segundo caso es similar.
Dejar ser el conjunto de todos tal que . Luego no está vacío desde es un elemento de , y está delimitado por encima de . Por lo tanto, por completitud, el supremum existe. Es decir, es el número más pequeño que es mayor o igual a cada miembro de . Afirmamos que.
Arreglar algunos . Desde es continuo, hay un tal que cuando sea . Esto significa que
para todos . Por las propiedades del supremo, existen algunos que está contenido en , y entonces
- .
Cosecha , lo sabemos porque es el supremo de . Esto significa que
- .
Ambas desigualdades
son válidos para todos , de lo que deducimos como el único valor posible, como se indicó.
Observación: El teorema del valor intermedio también se puede demostrar utilizando los métodos de análisis no estándar , que coloca los argumentos "intuitivos" que involucran a infinitesimales sobre una base rigurosa. [3]
Historia
El teorema fue probado por primera vez por Bernard Bolzano en 1817. Bolzano utilizó la siguiente formulación del teorema: [4]
Dejar ser funciones continuas en el intervalo entre y tal que y . Entonces hay un Entre y tal que .
La equivalencia entre esta formulación y la moderna se puede mostrar estableciendo a la función constante apropiada. Augustin-Louis Cauchy proporcionó la formulación moderna y una prueba en 1821. [5] Ambos se inspiraron en el objetivo de formalizar el análisis de funciones y el trabajo de Joseph-Louis Lagrange . La idea de que las funciones continuas poseen la propiedad del valor intermedio tiene un origen anterior. Simon Stevin demostró el teorema del valor intermedio para polinomios (usando un cúbico como ejemplo) al proporcionar un algoritmo para construir la expansión decimal de la solución. El algoritmo subdivide iterativamente el intervalo en 10 partes, produciendo un dígito decimal adicional en cada paso de la iteración. [6] Antes de que se diera la definición formal de continuidad, la propiedad del valor intermedio se dio como parte de la definición de una función continua. Los proponentes incluyen a Louis Arbogast , quien asumió que las funciones no tienen saltos, satisfacen la propiedad del valor intermedio y tienen incrementos cuyos tamaños corresponden a los tamaños de los incrementos de la variable. [7] Los autores anteriores sostenían que el resultado era intuitivamente obvio y no requería prueba. La idea de Bolzano y Cauchy fue definir una noción general de continuidad (en términos de infinitesimales en el caso de Cauchy y usando desigualdades reales en el caso de Bolzano) y proporcionar una prueba basada en tales definiciones.
Generalizaciones
El teorema del valor intermedio está estrechamente relacionado con la noción topológica de conectividad y se deriva de las propiedades básicas de los conjuntos conectados en espacios métricos y subconjuntos conectados de ℝ en particular:
- Si y son espacios métricos , es un mapa continuo, y es un subconjunto conectado , entoncesestá conectado. (*)
- Un subconjunto está conectado si y solo si satisface la siguiente propiedad: . (**)
De hecho, la conectividad es una propiedad topológica y (*) se generaliza a espacios topológicos : Si y son espacios topológicos, es un mapa continuo, y es un espacio conectado , entoncesestá conectado. La preservación de la conectividad bajo mapas continuos se puede considerar como una generalización del teorema del valor intermedio, una propiedad de las funciones de valor real de una variable real, a funciones continuas en espacios generales.
Recuerde la primera versión del teorema del valor intermedio, enunciado anteriormente:
Teorema del valor intermedio. (Versión I). Considere un intervalo cerrado en los números reales y una función continua . Entonces sí es un número real tal que , existe tal que .
El teorema del valor intermedio es una consecuencia inmediata de estas dos propiedades de conectividad: [8]
Prueba: por (**),es un conjunto conectado. De (*) se deduce que la imagen,, también está conectado. Por conveniencia, suponga que. Luego, una vez más invocando (**), implica que , o para algunos . Desde, realmente debe sostenerse, y la conclusión deseada sigue. El mismo argumento se aplica si, así que hemos terminado.
El teorema del valor intermedio se generaliza de forma natural: supongamos que X es un espacio topológico conectado y ( Y , <) es un conjunto totalmente ordenado equipado con la topología de orden , y sea f : X → Y un mapa continuo. Si un y b son dos puntos en X y u es un punto en Y que se extiende entre f ( a ) y f ( b ) con respecto a <, entonces existe c en X tal que f ( c ) = u . El teorema original se recupera observando que ℝ está conectado y que su topología natural es la topología de orden.
El teorema del punto fijo de Brouwer es un teorema relacionado que, en una dimensión, da un caso especial del teorema del valor intermedio.
Converse es falso
Una función Darboux es una función real f que tiene la "propiedad valor intermedio", es decir, que satisface la conclusión del teorema del valor intermedio: Para cualquier dos valores a y b en el dominio de f , y cualquier y entre f ( una ) y f ( b ), hay alguna c entre una y b con f ( c ) = y . El teorema del valor intermedio dice que toda función continua es una función de Darboux. Sin embargo, no todas las funciones de Darboux son continuas; es decir, la inversa del teorema del valor intermedio es falsa.
Como ejemplo, tome la función f : [0, ∞) → [−1, 1] definida por f ( x ) = sin (1 / x ) para x > 0 yf (0) = 0. Esta función no es continuo en x = 0 porque el límite de f ( x ) cuando x tiende a 0 no existe; sin embargo, la función tiene la propiedad de valor intermedio. Otro ejemplo más complicado lo da la función de base 13 de Conway .
De hecho, el teorema de Darboux establece que todas las funciones que resultan de la diferenciación de alguna otra función en algún intervalo tienen la propiedad de valor intermedio (aunque no necesitan ser continuas).
Históricamente, esta propiedad de valor intermedio se ha sugerido como una definición de continuidad de funciones de valor real; [9] esta definición no fue adoptada.
Aplicaciones prácticas
Un resultado similar es el teorema de Borsuk-Ulam , que dice que un mapa continuo de la-esfera a euclidiana -espacio siempre mapeará algún par de puntos antípodas en el mismo lugar.
Prueba de caso unidimensional: tomepara ser cualquier función continua en un círculo. Dibuja una línea a través del centro del círculo, intersecándolo en dos puntos opuestos. y . Definir ser - estar . Si la línea se gira 180 grados, se obtendrá el valor - d . Debido al teorema del valor intermedio debe haber algún ángulo de rotación intermedio para el cual d = 0, y como consecuencia f ( A ) = f ( B ) en este ángulo.
En general, para cualquier función continua cuyo dominio sea algún convexo cerrado -forma dimensional y cualquier punto dentro de la forma (no necesariamente su centro), existen dos puntos antípodas con respecto al punto dado cuyo valor funcional es el mismo.
El teorema también sustenta la explicación de por qué la rotación de una mesa que se tambalea la traerá a la estabilidad (sujeto a ciertas restricciones que se cumplen fácilmente). [10]
Ver también
- Teorema del valor medio
- Teorema de la bola peluda
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Teorema de Bolzano" . MathWorld .
- ^ Esencialmente sigue Clarke, Douglas A. (1971). Fundamentos del análisis . Appleton-Century-Crofts. pag. 284.
- ^ Sanders, Sam (2017). "Análisis no estándar y constructivismo". arXiv : 1704.00281 [ matemáticas.LO ].
- ^ Russ, SB (1980). "Una traducción del artículo de Bolzano sobre el teorema del valor intermedio". Historia Mathematica . 7 (2): 156–185. doi : 10.1016 / 0315-0860 (80) 90036-1 .
- ^ Grabiner, Judith V. (marzo de 1983). "¿Quién te dio el épsilon? Cauchy y los orígenes del cálculo riguroso" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 90 (3): 185-194. doi : 10.2307 / 2975545 . JSTOR 2975545 .
- ^ Karin Usadi Katz y Mikhail G. Katz (2011) Una crítica burguesa de las tendencias nominalistas en las matemáticas contemporáneas y su historiografía. Fundamentos de la ciencia . doi : 10.1007 / s10699-011-9223-1 Ver enlace
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Teorema del valor intermedio" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews.
- ^ Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 42, 93. ISBN 978-0-07-054235-8.
- ^ Smorynski, Craig (7 de abril de 2017). MVT: Un teorema más valioso . Saltador. ISBN 9783319529561.
- ^ Keith Devlin (2007) Cómo estabilizar una mesa inestable
enlaces externos
- Teorema del valor intermedio en ProofWiki
- Teorema del valor intermedio - Teorema de Bolzano en el corte del nudo
- Teorema de Bolzano de Julio Cesar de la Yncera, Proyecto Demostraciones Wolfram .
- Weisstein, Eric W. "Teorema del valor intermedio" . MathWorld .
- Belk, Jim (2 de enero de 2012). "Versión bidimensional del teorema del valor intermedio" . Stack Exchange .
- Prueba del sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/topreal5.html#T4