Lema de Rokhlin

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En matemáticas, el lema de Rokhlin o lema de Kakutani-Rokhlin es un resultado importante en la teoría ergódica . Establece que una medida aperiódica que preserva el sistema dinámico puede descomponerse en una torre alta arbitraria de conjuntos medibles y un resto de medida arbitrariamente pequeña. Fue probado por Vladimir Abramovich Rokhlin e independientemente por Shizuo Kakutani . El lema se usa ampliamente en la teoría ergódica, por ejemplo en la teoría de Ornstein, y tiene muchas generalizaciones.

El lema de Rokhlin pertenece al grupo de enunciados matemáticos como el lema de Zorn en la teoría de conjuntos y el lema de Schwarz en el análisis complejo, que tradicionalmente se denominan lemas a pesar de que sus roles en sus respectivos campos son fundamentales.

Lema: Sea una transformación de preservación de medida invertible en un espacio de medida estándar con . Suponemos que es (mensurable) aperiódico , es decir, el conjunto de puntos periódicos para tiene medida cero. Entonces, para cada entero y para cada , existe un conjunto medible tal que los conjuntos son disjuntos por pares y tal que .${\ Displaystyle T \ dos puntos X \ a X}$ ${\displaystyle \textstyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle \textstyle \mu (X)=1}$${\displaystyle \textstyle T}$${\displaystyle \textstyle T}$${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \textstyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \textstyle E}$${\displaystyle \textstyle E,TE,\ldots ,T^{n-1}E}$${\displaystyle \textstyle \mu (E\cup TE\cup \cdots \cup T^{n-1}E)>1-\varepsilon }$

Un fortalecimiento útil del lema establece que dada una partición finita mensurable , entonces se puede elegir de tal manera que y sean independientes para todos . ^[1]${\displaystyle \textstyle P}$${\displaystyle \textstyle E}$${\displaystyle \textstyle T^{i}E}$${\displaystyle \textstyle P}$${\displaystyle \textstyle 0\leq i<n}$

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