En matemáticas , los polinomios de Romanovski son uno de los tres subconjuntos finitos de polinomios ortogonales reales descubiertos por Vsevolod Romanovsky [1] (Romanovski en la transcripción francesa) dentro del contexto de las funciones de distribución de probabilidad en estadística. Forman un subconjunto ortogonal de una familia más general de polinomios de Routh poco conocidos introducidos por Edward John Routh [2] en 1884. El término polinomios de Romanovski fue propuesto por Raposo, [3] con referencia a los llamados 'pseudo- Polinomios de Jacobi en el esquema de clasificación de Lesky. [4] Parece más coherente referirse a ellos comoPolinomios de Romanovski-Routh , por analogía con los términos Romanovski-Bessel y Romanovski-Jacobi usados por Lesky para otros dos conjuntos de polinomios ortogonales.
En cierto contraste con los polinomios ortogonales clásicos estándar, los polinomios en consideración difieren, en la medida en que para parámetros arbitrarios solo un número finito de ellos son ortogonales , como se analiza con más detalle a continuación.
La ecuación diferencial de los polinomios de Romanovski
Los polinomios de Romanovski resuelven la siguiente versión de la ecuación diferencial hipergeométrica
( 1 )
Curiosamente, se han omitido de los libros de texto estándar sobre funciones especiales en física matemática [5] [6] y en matemáticas [7] [8] y tienen una presencia relativamente escasa en otros lugares de la literatura matemática. [9] [10] [11]
Las funciones de peso son
( 2 )
resuelven la ecuación diferencial de Pearson
( 3 )
que asegura la autoadjunta del operador diferencial de la ecuación diferencial ordinaria hipergeométrica .
Para α = 0 y β <0 , la función de peso de los polinomios de Romanovski toma la forma de la distribución de Cauchy , por lo que los polinomios asociados también se denominan polinomios de Cauchy [12] en sus aplicaciones en la teoría de matrices aleatorias. [13]
La fórmula de Rodrigues especifica el polinomio R( α , β )
n( x ) como
( 4 )
donde N n es una constante de normalización. Esta constante está relacionada con el coeficiente c n del término de grado n en el polinomio R( α , β )
n( x ) por la expresión
( 5 )
que se cumple para n ≥ 1 .
Relación entre los polinomios de Romanovski y Jacobi
Como lo muestra Askey, esta secuencia finita de polinomios ortogonales reales se puede expresar en términos de polinomios de Jacobi de argumento imaginario y, por lo tanto, con frecuencia se la denomina polinomios de Jacobi complejos. [14] Es decir, la ecuación de Romanovski ( 1 ) se puede obtener formalmente a partir de la ecuación de Jacobi, [15]
( 6 )
a través de los reemplazos, para x real ,
( 7 )
en cuyo caso uno encuentra
( 8 )
(con constantes de normalización elegidas adecuadamente para los polinomios de Jacobi). Los polinomios complejos de Jacobi a la derecha se definen mediante (1.1) en Kuijlaars et al. (2003) [16] que asegura que ( 8 ) son polinomios reales en x. Dado que los autores citados discuten las condiciones de ortogonalidad no hermitiana (compleja) solo para los índices reales de Jacobi, la superposición entre su análisis y la definición ( 8 ) de los polinomios de Romanovski existe solo si α = 0. Sin embargo, el examen de este caso peculiar requiere más escrutinio más allá del límites de este artículo. Observe la invertibilidad de ( 8 ) según
( 9 )
donde, ahora, P( α , β )
n( x ) es un polinomio real de Jacobi y
sería un polinomio complejo de Romanovski.
Propiedades de los polinomios de Romanovski
Construcción explícita
Para α , β reales y n = 0, 1, 2, ... , una función R( α , β )
n( x ) se puede definir mediante la fórmula de Rodrigues en la ecuación ( 4 ) como
( 10 )
donde w ( α , β ) es la misma función de ponderación que en ( 2 ), y s ( x ) = 1 + x 2 es el coeficiente de la segunda derivada de la ecuación diferencial hipergeométrica como en ( 1 ).
Tenga en cuenta que hemos elegido las constantes de normalización N n = 1 , lo que equivale a elegir el coeficiente de mayor grado en el polinomio, como se indica en la ecuación ( 5 ). Toma la forma
( 11 )
También tenga en cuenta que el coeficiente c n no depende del parámetro α , sino solo de β y, para valores particulares de β , c n desaparece (es decir, para todos los valores
donde k = 0, ..., n - 1 ). Esta observación plantea un problema que se aborda a continuación.
Para referencia posterior, escribimos explícitamente los polinomios de grado 0, 1 y 2,
que se derivan de la fórmula de Rodrigues ( 10 ) junto con la EDO de Pearson ( 3 ).
Ortogonalidad
Los dos polinomios, R( α , β )
m( x ) y R( α , β )
n( x ) con m ≠ n , son ortogonales, [3]
( 12 )
si y solo si,
( 13 )
En otras palabras, para parámetros arbitrarios, solo un número finito de polinomios de Romanovski son ortogonales. Esta propiedad se conoce como ortogonalidad finita . Sin embargo, para algunos casos especiales en los que los parámetros dependen de una manera particular del grado de polinomio, se puede lograr una ortogonalidad infinita.
Este es el caso de una versión de la ecuación ( 1 ) que se ha vuelto a encontrar de forma independiente en el contexto de la solubilidad exacta del problema mecánico cuántico del potencial trigonométrico de Rosen-Morse y que se describe en Compean y Kirchbach (2006). [17] Hay, los parámetros polinómicas alpha y β ya no son arbitrarias, pero se expresan en términos de los parámetros posibles, un y b , y el grado n de la según polinomio a las relaciones,
( 14 )
En consecuencia, λ n emerge como λ n = - n (2 a + n - 1) , mientras que la función de peso toma la forma
Finalmente, la variable unidimensional, x , de Compean & Kirchbach (2006) [17] se ha tomado como
donde r es la distancia radial, mientras quees un parámetro de longitud apropiado. En Compean & Kirchbach [17] se ha demostrado que la familia de polinomios de Romanovski correspondiente a la secuencia infinita de pares de parámetros,
( 15 )
es ortogonal.
Función generadora
En Weber (2007) [18] polinomios Q( α n , β n + n )
ν( x ) , con β n + n = - a , y complementario de R( α n , β n )
n( x ) han sido estudiados, generados de la siguiente manera:
( 16 )
Teniendo en cuenta la relación,
( 17 )
La ecuación ( 16 ) se vuelve equivalente a
( 18 )
y así vincula los polinomios complementarios a los principales de Romanovski.
El principal atractivo de los polinomios complementarios es que su función generadora se puede calcular en forma cerrada. [19] Dicha función generadora , escrita para los polinomios de Romanovski basados en la Ecuación ( 18 ) con los parámetros en ( 14 ) y, por lo tanto, se refiere a la ortogonalidad infinita, se ha introducido como
( 19 )
Las diferencias de notación entre Weber [18] y las utilizadas aquí se resumen a continuación:
- G ( α n , β n ) ( x , y ) aquí versus Q ( x , y ; α , - a ) allí, α allí en lugar de α n aquí,
- a = - β n - n , y
- Q( α , - a )
ν( x ) en la Ecuación (15) en Weber [18] correspondiente a R( α n , β n + n - ν )
ν( x ) aquí.
La función generadora en discusión obtenida en Weber [18] ahora dice:
( 20 )
Relaciones de recurrencia
Las relaciones de recurrencia entre las series ortogonales infinitas de polinomios de Romanovski con los parámetros de las ecuaciones anteriores ( 14 ) se derivan de la función generadora , [18]
( 21 )
y
( 22 )
como las ecuaciones (10) y (23) de Weber (2007) [18] respectivamente.
Ver también
- Funciones de Legendre asociadas
- Cuadratura gaussiana
- Polinomios de Gegenbauer
- Funciones racionales de Legendre
- Desigualdades de Turán
- Onda de Legendre
- Polinomios de Jacobi
- Polinomios de Legendre
- Armónicos esféricos
- Trigonométrico_Rosen – Morse_potential
Referencias
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