En matemáticas de sistemas estocásticos, el método de Runge-Kutta es una técnica para la solución numérica aproximada de una ecuación diferencial estocástica . Es una generalización del método de Runge-Kutta para ecuaciones diferenciales ordinarias a ecuaciones diferenciales estocásticas (SDE). Es importante destacar que el método no implica conocer las derivadas de las funciones de coeficientes en las SDE.
Esquema más básico
Considere la difusión de Itō satisfaciendo la siguiente ecuación diferencial estocástica de Itō
con condición inicial , dónde representa el proceso de Wiener , y supongamos que deseamos resolver este SDE en algún intervalo de tiempo. Luego, la aproximación básica de Runge-Kutta a la verdadera soluciónes la cadena de Markov definido como sigue: [1]
- particionar el intervalo dentro subintervalos de ancho :
- colocar ;
- calcular recursivamente por por
dónde y Las variables aleatorias son variables aleatorias normales independientes e idénticamente distribuidas con valor esperado cero y varianza .
Este esquema tiene un orden 1 fuerte, lo que significa que el error de aproximación de la solución real en un tiempo fijo escala con el paso de tiempo . También tiene un orden débil 1, lo que significa que el error en las estadísticas de la solución escala con el paso de tiempo. Consulte las referencias para obtener declaraciones completas y exactas.
Las funciones y puede variar en el tiempo sin ninguna complicación. El método se puede generalizar al caso de varias ecuaciones acopladas; el principio es el mismo pero las ecuaciones se hacen más largas.
La variación del Euler mejorado es flexible
Un esquema de Runge-Kutta más nuevo, también de orden fuerte 1, se reduce directamente al esquema de Euler mejorado para EDO deterministas. [2] Considere el proceso estocástico vectorial que satisface la Ito SDE general
donde deriva y volatilidad son funciones suficientemente suaves de sus argumentos. Paso de tiempo dado, y dado el valor , estimación por para el tiempo vía
- dónde para normal aleatorio ;
- y donde , cada alternativa elegida con probabilidad .
Lo anterior describe solo un paso de tiempo. Repite este paso de tiempo veces con el fin de integrar la SDE de tiempo a .
El esquema integra SDEs de Stratonovich para proporcionado uno juegos a lo largo (en lugar de elegir ).
Esquemas de Runge-Kutta de orden superior
También existen esquemas de orden superior, pero se vuelven cada vez más complejos. Rößler desarrolló muchos esquemas para Ito SDE, [3] [4] mientras que Komori desarrolló esquemas para Stratonovich SDE. [5] [6] [7] Rackauckas extendió estos esquemas para permitir el paso de tiempo adaptativo a través del muestreo de rechazo con memoria (RSwM), lo que resulta en incrementos de eficiencia de órdenes de magnitud en modelos biológicos prácticos, [8] junto con optimización de coeficientes para mejorar estabilidad. [9]
Referencias
- ^ PE Kloeden y E. Platen. Solución numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas , volumen 23 de Aplicaciones de las matemáticas. Springer - Verlag, 1992.
- ^ AJ Roberts. Modifique el esquema de Euler mejorado para integrar ecuaciones diferenciales estocásticas. [1] , octubre de 2012.
- ^ Rößler, A. (2009). "Métodos de segundo orden de Runge-Kutta para las ecuaciones diferenciales estocásticas de Itô". Revista SIAM de Análisis Numérico . 47 (3): 1713-1738. doi : 10.1137 / 060673308 .
- ^ Rößler, A. (2010). "Métodos de Runge-Kutta para la fuerte aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas". Revista SIAM de Análisis Numérico . 48 (3): 922–952. doi : 10.1137 / 09076636X .
- ^ Komori, Y. (2007). "Análisis de árbol con raíces multicolores de las condiciones de orden débil de una familia estocástica de Runge-Kutta" . Matemática Numérica Aplicada . 57 (2): 147-165. doi : 10.1016 / j.apnum.2006.02.002 .
- ^ Komori, Y. (2007). "Métodos de Runge-Kutta estocásticos de orden débil para ecuaciones diferenciales estocásticas conmutativas" . Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 203 : 57–79. doi : 10.1016 / j.cam.2006.03.010 .
- ^ Komori, Y. (2007). "Métodos de Runge-Kutta estocásticos de segundo orden débiles para ecuaciones diferenciales estocásticas no conmutativas" . Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 206 : 158-173. doi : 10.1016 / j.cam.2006.06.006 .
- ^ Rackauckas, Christopher; Nie, Qing (2017). "MÉTODOS ADAPTATIVOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCÁSTICAS VÍA EMBALAJES NATURALES Y MUESTREO DE RECHAZO CON MEMORIA" . Sistemas dinámicos discretos y continuos - Serie B . 22 (7): 2731–2761. doi : 10.3934 / dcdsb.2017133 .
- ^ Rackauckas, Christopher; Nie, Qing (2018). "Métodos de alto orden de estabilidad optimizada y detección de rigidez para ecuaciones diferenciales estocásticas rígidas de trayectoria". arXiv : 1804.04344 .