En matemáticas y particularmente en sistemas dinámicos , una condición inicial , en algunos contextos llamada valor semilla , [1] : pp. 160 es un valor de una variable en evolución en algún momento designado como el tiempo inicial (típicamente denotado t = 0 ). Para un sistema de orden k (el número de retrasos en el tiempo discreto , o el orden de la derivada más grande en tiempo continuo ) y dimensión n (es decir, con n variables en evolución diferentes, que juntas pueden denotarse por una n-vector de coordenadas dimensionales ), generalmente se necesitan nk condiciones iniciales para rastrear las variables del sistema hacia adelante a través del tiempo.
Tanto en las ecuaciones diferenciales en tiempo continuo como en las ecuaciones en diferencia en tiempo discreto, las condiciones iniciales afectan el valor de las variables dinámicas ( variables de estado ) en cualquier momento futuro. En tiempo continuo, el problema de encontrar una solución de forma cerrada para las variables de estado en función del tiempo y de las condiciones iniciales se denomina problema de valor inicial . Existe un problema correspondiente para situaciones de tiempo discreto. Si bien no siempre es posible obtener una solución de forma cerrada, los valores futuros de un sistema de tiempo discreto se pueden encontrar iterando hacia adelante un período de tiempo por iteración, aunque el error de redondeo puede hacer que esto no sea práctico en horizontes largos.
Sistema lineal
Tiempo discreto
Una ecuación de diferencia de matriz lineal de la forma homogénea (sin término constante) tiene una solución de forma cerrada predicado en el vector de las condiciones iniciales de las variables individuales que se apilan en el vector; se llama el vector de las condiciones iniciales o simplemente la condición inicial, y contiene nk piezas de información, n es la dimensión del vector X y k = 1 es el número de retardos de tiempo en el sistema. Las condiciones iniciales en este sistema lineal no afectan la naturaleza cualitativa del comportamiento futuro de la variable de estado X ; ese comportamiento es estable o inestable según los valores propios de la matriz A pero no según las condiciones iniciales.
Alternativamente, un proceso dinámico en una sola variable x que tiene múltiples retrasos de tiempo es
Aquí la dimensión es n = 1 y el orden es k , por lo que el número necesario de condiciones iniciales para rastrear el sistema a través del tiempo, ya sea de forma iterativa o mediante una solución de forma cerrada, es nk = k . Nuevamente, las condiciones iniciales no afectan la naturaleza cualitativa de la evolución a largo plazo de la variable. La solución de esta ecuación se encuentra usando su ecuación característica para obtener las k soluciones de este último , que son los valores característicos para usar en la ecuación de solución
Aquí las constantes se encuentran resolviendo un sistema de k ecuaciones diferentes basadas en esta ecuación, cada una usando uno de k valores diferentes de t para los cuales la condición inicial específica Es conocida.
Tiempo continuo
Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden con n variables apiladas en un vector X es
Su comportamiento a lo largo del tiempo se puede rastrear con una solución de forma cerrada condicionada a un vector de condición inicial . El número de piezas de información iniciales requeridas es la dimensión n del sistema multiplicada por el orden k = 1 del sistema, o n . Las condiciones iniciales no afectan el comportamiento cualitativo (estable o inestable) del sistema.
Una sola ecuación lineal de k- ésimo orden en una sola variable x es
Aquí el número de condiciones iniciales necesarias para obtener una solución de forma cerrada es la dimensión n = 1 por el orden k , o simplemente k . En este caso, las k piezas iniciales de información normalmente no serán valores diferentes de la variable x en diferentes puntos en el tiempo, sino más bien los valores de x y sus primeras k - 1 derivadas, todo en algún punto en el tiempo como el tiempo cero. Las condiciones iniciales no afectan la naturaleza cualitativa del comportamiento del sistema. La ecuación característica de esta ecuación dinámica escuyas soluciones son los valores característicos estos se utilizan en la ecuación de solución
Esta ecuación y sus primeras k - 1 derivadas forman un sistema de k ecuaciones que pueden resolverse para los k parámetrosdadas las condiciones iniciales conocidas en x y los valores de sus k - 1 derivadas en algún momento t .
Sistemas no lineales
Los sistemas no lineales pueden exhibir una variedad de comportamiento sustancialmente más rica que los sistemas lineales. En particular, las condiciones iniciales pueden afectar si el sistema diverge hasta el infinito o si converge hacia uno u otro atractor del sistema. Cada atractor, una región de valores (posiblemente desconectada) a la que algunos caminos dinámicos se acercan pero nunca abandonan, tiene una cuenca de atracción (posiblemente desconectada) de manera que las variables de estado con condiciones iniciales en esa cuenca (y en ningún otro lugar) evolucionarán hacia ese atractor. Incluso las condiciones iniciales cercanas podrían estar en cuencas de atracción de diferentes atractores (ver, por ejemplo, el método de Newton # Cuencas de atracción ).
Además, en aquellos sistemas no lineales que muestran un comportamiento caótico , la evolución de las variables exhibe una dependencia sensible de las condiciones iniciales : los valores iterados de dos puntos cualesquiera muy cercanos en el mismo atractor extraño , mientras cada uno permanece en el atractor, divergirán entre sí durante hora. Por lo tanto, incluso en un solo atractor, los valores precisos de las condiciones iniciales marcan una diferencia sustancial para las posiciones futuras de los iterados. Esta característica hace que la simulación precisa de valores futuros sea difícil e imposible en horizontes largos, porque rara vez es posible establecer las condiciones iniciales con precisión exacta y porque el error de redondeo es inevitable incluso después de unas pocas iteraciones desde una condición inicial exacta.
Ver también
- Condición de frontera
- Vector de inicialización , en criptografía
Referencias
- ^ Baumol, William J. (1970). Dinámica económica: una introducción (3ª ed.). Londres: Collier-Macmillan. ISBN 0-02-306660-1.