Constante de Rydberg

Constantes físicas de energía y número de onda.

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En espectroscopia , la constante de Rydberg , símbolo de átomos pesados ​​o de hidrógeno, que lleva el nombre del físico sueco Johannes Rydberg , es una constante física relacionada con los espectros electromagnéticos de un átomo. La constante surgió primero como un parámetro de ajuste empírico en la fórmula de Rydberg para la serie espectral de hidrógeno , pero Niels Bohr demostró más tarde que su valor podía calcularse a partir de constantes más fundamentales a través de su modelo de Bohr . A partir de 2018 , y factor g de espín de electrones${\displaystyle R_{\infty }}$${\displaystyle R_{\text{H}}}$ ^[actualizar]${\displaystyle R_{\infty }}$son las constantes físicas medidas con mayor precisión . ^[1]

La constante se expresa para hidrógeno como , o en el límite de masa nuclear infinita como . En cualquier caso, la constante se usa para expresar el valor límite del número de onda más alto (longitud de onda inversa) de cualquier fotón que pueda ser emitido por un átomo o, alternativamente, el número de onda del fotón de energía más baja capaz de ionizar un átomo de su estado fundamental. La serie espectral del hidrógeno se puede expresar simplemente en términos de la constante de Rydberg para el hidrógeno y la fórmula de Rydberg .${\displaystyle R_{\text{H}}}$${\displaystyle R_{\infty }}$${\displaystyle R_{\text{H}}}$

En física atómica , la unidad de energía de Rydberg , símbolo Ry, corresponde a la energía del fotón cuyo número de onda es la constante de Rydberg, es decir, la energía de ionización del átomo de hidrógeno en un modelo de Bohr simplificado. ^{[ cita requerida ]}

Valor

Constante de Rydberg

El valor CODATA es ^[2]

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}}$ = 10 973 731 .568 160 (21) m ⁻¹ ,

donde

${\displaystyle m_{\text{e}}}$es la masa en reposo del electrón ,

${\displaystyle e}$es la carga elemental ,

${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad del espacio libre ,

${\displaystyle h}$es la constante de Planck , y

${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz en el vacío.

La constante de Rydberg para el hidrógeno se puede calcular a partir de la masa reducida del electrón:

${\displaystyle R_{\text{H}}=R_{\infty }{\frac {m_{\text{p}}}{m_{\text{e}}+m_{\text{p}}}}\approx 1.09678\times 10^{7}{\text{ m}}^{-1},}$

donde

${\displaystyle m_{\text{e}}}$ es la masa del electrón,

${\displaystyle m_{\text{p}}}$ es la masa del núcleo (un protón).

Unidad de energía Rydberg

${\displaystyle 1\ {\text{Ry}}\equiv hcR_{\infty }={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{2}}}=2.179\;872\;361\;1035(42)\times 10^{-18}\ {\text{J}}}$^{[3] [4]}${\displaystyle \ =13.605\;693\;122\;994(26)\ {\text{eV}}.}$

Frecuencia de Rydberg

${\displaystyle cR_{\infty }=3.289\;841\;960\;2508(64)\times 10^{15}\ {\text{Hz}}.}$^[5]

Longitud de onda de Rydberg

${\displaystyle {\frac {1}{R_{\infty }}}=9.112\;670\;505\;824(17)\times 10^{-8}\ {\text{m}}}$.

La longitud de onda angular es

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi R_{\infty }}}=1.450\;326\;555\;7696(28)\times 10^{-8}\ {\text{m}}}$.

Ocurrencia en el modelo de Bohr

Artículo principal: modelo de Bohr

El modelo de Bohr explica el espectro atómico del hidrógeno (ver series espectrales de hidrógeno ) así como otros átomos e iones. No es perfectamente exacto, pero es una aproximación notablemente buena en muchos casos, e históricamente jugó un papel importante en el desarrollo de la mecánica cuántica . El modelo de Bohr postula que los electrones giran alrededor del núcleo atómico de una manera análoga a los planetas que giran alrededor del sol.

En la versión más simple del modelo de Bohr, la masa del núcleo atómico se considera infinita en comparación con la masa del electrón, ^{[6] de} modo que el centro de masa del sistema, el baricentro , se encuentra en el centro de la núcleo. Esta aproximación de masa infinita es a lo que se alude con el subíndice. El modelo de Bohr luego predice que las longitudes de onda de las transiciones atómicas de hidrógeno son (ver fórmula de Rydberg ):${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=\mathrm {Ry} \cdot {1 \over hc}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

donde n ₁ y n ₂ son dos números enteros positivos diferentes (1, 2, 3, ...), y es la longitud de onda (en el vacío) de la luz emitida o absorbida.${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R_{M}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

donde y M es la masa total del núcleo. Esta fórmula proviene de sustituir la masa reducida del electrón.${\displaystyle R_{M}=R_{\infty }/(1+m_{\text{e}}/M),}$

Medición de precisión

Ver también: Pruebas de precisión de QED

La constante de Rydberg es una de las constantes físicas determinadas con mayor precisión, con una incertidumbre estándar relativa de menos de 2 partes en 10 ¹² . ^[2] Esta precisión restringe los valores de las otras constantes físicas que la definen. ^[7]

Dado que el modelo de Bohr no es perfectamente preciso, debido a la estructura fina , la división hiperfina y otros efectos similares, la constante de Rydberg no se puede medir directamente con una precisión muy alta a partir de las frecuencias de transición atómica del hidrógeno solo. En cambio, la constante de Rydberg se infiere de las mediciones de las frecuencias de transición atómica en tres átomos diferentes ( hidrógeno , deuterio y helio antiprotónico ). Se utilizan cálculos teóricos detallados en el marco de la electrodinámica cuántica para tener en cuenta los efectos de la masa nuclear finita, la estructura fina, la división hiperfina, etc. Finalmente, el valor de${\displaystyle R_{\infty }}$${\displaystyle R_{\infty }}$se determina a partir del mejor ajuste de las mediciones a la teoría. ^[8]

Expresiones alternativas

La constante de Rydberg también se puede expresar como en las siguientes ecuaciones.

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{\text{e}}c}{4\pi \hbar }}={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{\text{e}}}}={\frac {\alpha }{4\pi a_{0}}}}$

y

${\displaystyle hcR_{\infty }={\frac {1}{2}}m_{\text{e}}c^{2}\alpha ^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {e^{4}m_{\text{e}}}{(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {m_{\text{e}}c^{2}r_{\text{e}}}{a_{0}}}={\frac {1}{2}}{\frac {hc\alpha ^{2}}{\lambda _{\text{e}}}}={\frac {1}{2}}hf_{\text{C}}\alpha ^{2}={\frac {1}{2}}\hbar \omega _{\text{C}}\alpha ^{2}={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}\left({\dfrac {\hbar }{a_{0}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {e^{2}}{(4\pi \varepsilon _{0})a_{0}}}.}$

donde

${\displaystyle m_{\text{e}}}$es la masa en reposo del electrón ,

${\displaystyle e}$es la carga eléctrica del electrón,

${\displaystyle h}$es la constante de Planck ,

${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$es la constante de Planck reducida ,

${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz en el vacío,

${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la constante del campo eléctrico ( permitividad ) del espacio libre,

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{\hbar c}}}$es la constante de estructura fina ,

${\displaystyle \lambda _{\text{e}}=h/m_{\text{e}}c}$es la longitud de onda de Compton del electrón,

${\displaystyle f_{\text{C}}=m_{\text{e}}c^{2}/h}$ es la frecuencia de Compton del electrón,

${\displaystyle \omega _{\text{C}}=2\pi f_{\text{C}}}$ es la frecuencia angular de Compton del electrón,

${\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{e^{2}m_{\text{e}}}}}$es el radio de Bohr ,

${\displaystyle r_{\mathrm {e} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}}$es el radio clásico del electrón .

La última expresión de la primera ecuación muestra que la longitud de onda de la luz necesaria para ionizar un átomo de hidrógeno es 4 π / α veces el radio de Bohr del átomo.

La segunda ecuación es relevante debido a que su valor es el coeficiente de la energía de los orbitales atómicos de un átomo de hidrógeno: .${\displaystyle E_{n}=-hcR_{\infty }/n^{2}}$

Ver también

• Fórmula de Rydberg , incluye una discusión del descubrimiento original de Rydberg.
• Constantes físicas relacionadas:
  • Radio de Bohr
  • Constante de Planck
  • Constante de estructura fina
  • Masa en reposo de electrones

Referencias

1. Pohl, Randolf; Antognini, Aldo; Nez, François; Amaro, Fernando D .; Biraben, François; Cardoso, João MR; Covita, Daniel S .; Dax, Andreas; Dhawan, Satish; Fernandes, Luis MP; Giesen, Adolf; Graf, Thomas; Hänsch, Theodor W .; Indelicato, Paul; Julien, Lucile; Kao, Cheng-Yang; Knowles, Paul; Le Bigot, Eric-Olivier; Liu, Yi-Wei; Lopes, José AM; Ludhova, Livia; Monteiro, Cristina MB; Mulhauser, Françoise; Nebel, Tobías; Rabinowitz, Paul; Dos Santos, Joaquim MF; Schaller, Lukas A .; Schuhmann, Karsten; Schwob, Catherine; Taqqu, David (2010). "El tamaño del protón". Naturaleza . 466 (7303): 213–216. Código Bib : 2010Natur.466..213P . doi : 10.1038 / nature09250 .PMID  20613837 . S2CID  4424731 .
2. "Valor CODATA 2018: constante de Rydberg" . La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . 20 de mayo de 2019 . Consultado el 20 de mayo de 2019 .
3. "Valor CODATA 2018: constante de Rydberg veces hc en J" . NIST . La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . Consultado el 6 de febrero de 2020 .
4. "Valor CODATA 2018: constante de Rydberg veces hc en eV" . NIST . La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . Consultado el 6 de febrero de 2020 .
5. "Valor CODATA 2018: constante de Rydberg veces c en Hz" . NIST . La referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . Consultado el 5 de febrero de 2020 .
6. Coffman, Moody L. (1965). "Corrección de la constante de Rydberg para masa nuclear finita". Revista estadounidense de física . 33 (10): 820–823. Código bibliográfico : 1965AmJPh..33..820C . doi : 10.1119 / 1.1970992 .
7. PJ Mohr, BN Taylor y DB Newell (2015), "Los valores recomendados de CODATA 2014 de las constantes físicas fundamentales" (versión web 7.0). Esta base de datos fue desarrollada por J. Baker, M. Douma y S. Kotochigova. Disponible: http://physics.nist.gov/constants . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología, Gaithersburg, MD 20899. Enlace a R ∞ , Enlace a hcR ∞ . Publicado en Mohr, Peter J .; Taylor, Barry N .; Newell, David B. (2012). "Valores recomendados por CODATA de las constantes físicas fundamentales: 2010". Reseñas de Física Moderna . 84 (4): 1527–1605. arXiv : 1203.5425 . Bibcode :2012RvMP ... 84.1527M . doi : 10.1103 / RevModPhys.84.1527 . S2CID  103378639 "" y Mohr, Peter J .; Taylor, Barry N .; Newell, David B. (2012). "Valores recomendados de CODATA de las constantes físicas fundamentales: 2010". Revista de datos de referencia físicos y químicos . 41 (4): 043109. arXiv : 1507.07956 . Código Bibliográfico : 2012JPCRD..41d3109M . doi : 10.1063 / 1.4724320 "" .
8. Mohr, Peter J .; Taylor, Barry N .; Newell, David B. (2008). "Valores recomendados por CODATA de las constantes físicas fundamentales: 2006". Reseñas de Física Moderna . 80 (2): 633–730. arXiv : 0801.0028 . Código Bibliográfico : 2008RvMP ... 80..633M . doi : 10.1103 / RevModPhys.80.633 .