El análisis de escala (o análisis de orden de magnitud ) es una herramienta poderosa utilizada en las ciencias matemáticas para la simplificación de ecuaciones con muchos términos. Primero se determina la magnitud aproximada de los términos individuales en las ecuaciones. Entonces se pueden ignorar algunos términos insignificantes.
Ejemplo: impulso vertical en meteorología a escala sinóptica
Considere, por ejemplo, la ecuación de la cantidad de movimiento de las ecuaciones de Navier-Stokes en la dirección de coordenadas verticales de la atmósfera.
donde R es el radio de la Tierra , Ω es la frecuencia de rotación de la Tierra, g es la aceleración gravitacional , φ es la latitud, ρ es la densidad del aire y ν es la viscosidad cinemática del aire (podemos despreciar la turbulencia en la atmósfera libre ).
En escala sinóptica podemos esperar velocidades horizontales alrededor de U = 10 1 ms −1 y verticales alrededor de W = 10 −2 ms −1 . La escala horizontal es L = 10 6 my la escala vertical es H = 10 4 m. La escala de tiempo típica es T = L / U = 10 5 s. Las diferencias de presión en la troposfera son ΔP = 10 4 Pa y la densidad del aire ρ = 10 0 kg · m −3 . Otras propiedades físicas son aproximadamente:
- R = 6,378 x 10 6 m;
- Ω = 7,292 × 10 −5 rad · s −1;
- ν = 1,46 × 10 −5 m 2 · s −1;
- g = 9,81 m · s −2.
Se pueden hacer estimaciones de los diferentes términos de la ecuación (1) utilizando sus escalas:
Ahora podemos introducir estas escalas y sus valores en la ecuación (1):
Podemos ver que todos los términos, excepto el primero y el segundo en el lado derecho, son insignificantes. Por lo tanto, podemos simplificar la ecuación del momento vertical a la ecuación de equilibrio hidrostático :
Reglas de análisis de escala
El análisis de escala es una herramienta muy útil y ampliamente utilizada para resolver problemas en el área de transferencia de calor y mecánica de fluidos, chorro de pared impulsado por presión, flujos de separación detrás de escalones orientados hacia atrás, llamas de difusión de chorro, estudio de dinámica lineal y no lineal. Se recomienda el análisis de escala como el método principal para obtener la mayor cantidad de información por unidad de esfuerzo intelectual, a pesar de que es una condición previa para un buen análisis en forma adimensional. El objeto del análisis de escala es utilizar los principios básicos de la transferencia de calor por convección para producir estimaciones de orden de magnitud para las cantidades de interés. El análisis de escala anticipa dentro de un factor de orden uno cuando se realiza correctamente, los costosos resultados producidos por análisis exactos. El análisis de escala dictaminó de la siguiente manera:
Regla 1: el primer paso en el análisis de escala es definir el dominio de extensión en el que aplicamos el análisis de escala. Cualquier análisis de escala de una región de flujo que no esté definida de forma única no es válido.
Regla 2- Una ecuación constituye una equivalencia entre las escalas de dos términos dominantes que aparecen en la ecuación. Por ejemplo,
En el ejemplo anterior, el lado izquierdo podría tener el mismo orden de magnitud que el lado derecho.
Regla 3 - Si en la suma de dos términos dados por
el orden de magnitud de un término es mayor que el orden de magnitud del otro término
entonces el orden de magnitud de la suma viene dictado por el término dominante
La misma conclusión es válida si tenemos la diferencia de dos términos
Regla 4- En la suma de dos términos, si dos términos son del mismo orden de magnitud,
entonces la suma también es del mismo orden de magnitud:
Regla 5- En caso de producto de dos términos
el orden de magnitud del producto es igual al producto de los órdenes de magnitud de los dos factores
para proporciones
luego
aquí O (a) representa el orden de magnitud de a.
~ representa que dos términos son del mismo orden de magnitud.
> representa mayor que, en el sentido de orden de magnitud.
Análisis de escala de flujo completamente desarrollado
Considere el flujo laminar constante de un fluido viscoso dentro de un tubo circular. Deje que el fluido entre con una velocidad uniforme sobre el flujo a través de la sección. A medida que el fluido desciende por el tubo, se forma una capa límite de fluido de baja velocidad y crece en la superficie porque el fluido inmediatamente adyacente a la superficie tiene velocidad cero. Una característica particular y simplificadora del flujo viscoso dentro de los tubos cilíndricos es el hecho de que la capa límite debe encontrarse en la línea central del tubo, y la distribución de la velocidad establece entonces un patrón fijo que es invariante. La longitud de la entrada hidrodinámica es la parte del tubo en la que crece la capa límite del momento y la distribución de la velocidad cambia con la longitud. La distribución de velocidad fija en la región completamente desarrollada se denomina perfil de velocidad completamente desarrollado. La continuidad de estado estacionario y la conservación de las ecuaciones de cantidad de movimiento en dos dimensiones son
Estas ecuaciones se pueden simplificar mediante el análisis de escala. En cualquier punto en la zona completamente desarrollada, tenemos y . Ahora, de la ecuación (1), el componente de velocidad transversal en la región completamente desarrollada se simplifica usando la escala como
En la región completamente desarrollada , de modo que la escala de la velocidad transversal es despreciable de la ecuación (4). Por lo tanto, en un flujo completamente desarrollado, la ecuación de continuidad requiere que
Con base en la ecuación (5), la ecuación del momento y (3) se reduce a
esto significa que P es función de x solamente. A partir de esto, la ecuación del momento x se convierte en
Cada término debe ser constante, porque el lado izquierdo es función de x solamente y el derecho es función de y. Resolver la ecuación (7) sujeto a la condición de contorno
esto da como resultado la conocida solución de Hagen-Poiseuille para un flujo completamente desarrollado entre placas paralelas.
donde y se mide lejos del centro del canal. La velocidad debe ser parabólica y proporcional a la presión por unidad de longitud del conducto en la dirección del flujo.
Ver también
Referencias
- Barenblatt, GI (1996). Escalado, autosemejanza y asintótica intermedia . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-43522-6.
- Tennekes, H .; Lumley, John L. (1972). Un primer curso de turbulencia . Prensa del MIT, Cambridge, Massachusetts. ISBN 0-262-20019-8.
- Bejan, A. (2004). Transferencia de calor por convección . John Wiley e hijos. ISBN 978-81-265-0934-8.
- Kays, WM, Crawford ME (2012). Transferencia de masa y calor por convección . Educación de McGraw Hill (India). ISBN 978-1-25-902562-4.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
enlaces externos
- Análisis de escala y números de Reynolds [ enlace muerto ]