Evolución de Schramm-Loewner
En la teoría de la probabilidad , la evolución de Schramm-Loewner con parámetro κ , también conocida como evolución estocástica de Loewner (SLE κ ), es una familia de curvas planas aleatorias que han demostrado ser el límite de escala de una variedad de modelos reticulares bidimensionales en mecánica estadística . Dado un parámetro κ y un dominio en el plano complejo U , da una familia de curvas aleatorias en U , con κ controlando cuánto gira la curva. Hay dos variantes principales de LES, LES cordalque da una familia de curvas aleatorias desde dos puntos límite fijos, y SLE radial , que da una familia de curvas aleatorias desde un punto límite fijo a un punto interior fijo. Estas curvas se definen para satisfacer la invariancia conforme y una propiedad de dominio de Markov .
Fue descubierto por Oded Schramm ( 2000 ) como un límite de escala conjeturado del árbol de expansión uniforme planar (UST) y los procesos probabilísticos de caminata aleatoria borrada en bucle planar (LERW), y desarrollado por él junto con Greg Lawler y Wendelin Werner en un serie de documentos conjuntos.
Además de UST y LERW, se conjetura o se demuestra que la evolución de Schramm-Loewner describe el límite de escala de varios procesos estocásticos en el plano, como la percolación crítica , el modelo crítico de Ising , el modelo de doble dímero , las caminatas autoevitantes y otros. modelos de mecánica estadística crítica que exhiben invariancia conforme. Las curvas SLE son los límites de escala de las interfaces y otras curvas aleatorias que no se cortan a sí mismas en estos modelos. La idea principal es que la invariancia conforme y cierta propiedad de Markovinherentes a tales procesos estocásticos juntos hacen posible codificar estas curvas planas en un movimiento browniano unidimensional que se ejecuta en el límite del dominio (la función impulsora en la ecuación diferencial de Loewner). De esta manera, muchas preguntas importantes sobre los modelos planos se pueden traducir en ejercicios de cálculo de Itō . De hecho, varias predicciones matemáticamente no rigurosas realizadas por físicos que utilizan la teoría del campo conforme se han probado utilizando esta estrategia.
Si D es un dominio complejo abierto simplemente conectado no igual a C y γ es una curva simple en D que comienza en el límite (una función continua con γ (0) en el límite de D y γ ((0, ∞)) un subconjunto de D ), entonces para cada t ≥ 0, el complemento D t de γ ([0, t ]) está simplemente conectado y, por lo tanto, es isomorfo conforme a D por el teorema de mapeo de Riemann . Si ƒ t es un isomorfismo normalizado adecuado de D a D t , entonces satisface una ecuación diferencial encontrada por Loewner (1923 , p. 121) en su trabajo sobre la conjetura de Bieberbach . A veces es más conveniente usar la función inversa g t de ƒ t , que es un mapeo conforme de D t a D .
En la ecuación de Loewner, z está en el dominio D , t ≥ 0, y los valores límite en el momento t = 0 son ƒ 0 ( z ) = zo g 0 ( z ) = z . La ecuación depende de una función impulsora ζ ( t ) que toma valores en el límite de D . Si D es el disco unitario y la curva γ está parametrizada por "capacidad", entonces la ecuación de Loewner es
donde y se prolongan por continuidad.
