En matemáticas , la propiedad de Schur , que lleva el nombre de Issai Schur , es la propiedad de los espacios normativos que se satisface precisamente si la convergencia débil de secuencias implica la convergencia en la norma.
Motivación
Cuando estamos trabajando en un espacio normado X y tenemos una secuencia que converge débilmente a , entonces surge una pregunta natural. ¿La secuencia converge quizás de una manera más deseable? Es decir, ¿la secuencia converge aen norma? Un ejemplo canónico de esta propiedad, y comúnmente utilizado para ilustrar la propiedad Schur, es el espacio de secuencia .
Definición
Supongamos que tenemos un espacio normado ( X , || · ||),un miembro arbitrario de X , yuna secuencia arbitraria en el espacio. Decimos que X tiene propiedad de Schur si convergiendo débilmente a implica que . En otras palabras, las topologías débil y fuerte comparten las mismas secuencias convergentes. Sin embargo, tenga en cuenta que las topologías débil y fuerte siempre son distintas en el espacio de dimensión infinita.
Ejemplos de
El espacio ℓ 1 de sucesiones cuya serie es absolutamente convergente tiene la propiedad de Schur.
Nombre
Esta propiedad recibió su nombre del matemático de principios del siglo XX Issai Schur, quien demostró que ℓ 1 tenía la propiedad anterior en su artículo de 1921. [1]
Ver también
- Propiedad de Radon-Riesz para una propiedad similar de espacios normativos
- Teorema de schur
Notas
- ^ J. Schur, "Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 151 (1921) págs. 79-111
Referencias
- Megginson, Robert E. (1998), Introducción a la teoría espacial de Banach , Nueva York Berlín Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98431-3