Topología débil

Topology where convergence of points is defined by the convergence of their image under continuous linear functionals

Este artículo trata sobre la topología débil en un espacio vectorial normalizado. Para conocer la topología débil inducida por una familia general de mapas, consulte topología inicial . Para conocer la topología débil generada por la cobertura de un espacio, consulte topología coherente .

En matemáticas , topología débil es un término alternativo para ciertas topologías iniciales , a menudo en espacios vectoriales topológicos o espacios de operadores lineales, por ejemplo, en un espacio de Hilbert. El término se usa más comúnmente para la topología inicial de un espacio vectorial topológico (como un espacio vectorial normalizado ) con respecto a su dual continuo . El resto de este artículo se ocupará de este caso, que es uno de los conceptos del análisis funcional .

Se puede llamar a subconjuntos de un espacio vectorial topológico débilmente cerrado (respectivamente, débilmente compacto , etc.) si están cerrados (respectivamente, compacto , etc.) con respecto a la topología débil. Asimismo, las funciones a veces se denominan débilmente continuas (respectivamente, débilmente diferenciables , débilmente analíticas , etc.) si son continuas (respectivamente, diferenciables , analíticas , etc.) con respecto a la topología débil.

Historia

A principios del siglo XX, David Hilbert y Marcel Riesz hicieron un uso extensivo de la convergencia débil. Los primeros pioneros del análisis funcional no elevaron la convergencia de normas por encima de la convergencia débil y muchas veces consideraron preferible la convergencia débil. ^[1] En 1929, Banach introdujo la convergencia débil para los espacios normativos y también introdujo la convergencia análoga débil * . ^[1] La topología débil también se llama topologie faible y schwache Topologie .

Las topologías débil y fuerte

Artículo principal: Topologías sobre espacios de mapas lineales

Sea 𝕂 un campo topológico , es decir, un campo con una topología tal que la suma, la multiplicación y la división son continuas . En la mayoría de las aplicaciones, 𝕂 será el campo de números complejos o el campo de números reales con topologías familiares.

Topología débil con respecto a un emparejamiento

Artículo principal: Sistema dual § Topología débil

Tanto la topología débil como la topología débil * son casos especiales de una construcción más general para emparejamientos , que ahora describimos. El beneficio de esta construcción más general es que cualquier definición o resultado probado se aplica tanto a la topología débil como a la topología débil *, lo que hace redundante la necesidad de muchas definiciones, enunciados de teoremas y demostraciones. Esta es también la razón por la que la topología débil * también se denomina con frecuencia "topología débil"; porque es solo una instancia de la topología débil en el marco de esta construcción más general.

Supongamos que ( X , Y , b ) es un emparejamiento de espacios vectoriales sobre un campo topológico 𝕂 (es decir, X y Y son espacios vectoriales sobre 𝕂 y b  : X × Y → 𝕂 es un mapa bilineal ).

Notación. Para todo x ∈ X , sea b ( x , •): Y → 𝕂 denota el funcional lineal en Y definido por y ↦ b ( x , y ) . De manera similar, para todo y ∈ Y , sea b (•, y ): X → 𝕂 definido por x ↦ b ( x , y ) .

Definición. La topología débil en X inducida por Y ( yb ) es la topología más débil en X , denotada por 𝜎 ( X , Y , b ) o simplemente 𝜎 ( X , Y ) , lo que hace que todos los mapas sean b (•, y ): X → 𝕂 continua, como Y rangos de más de Y . ^[1]

La topología débil en Y ahora se define automáticamente como se describe en el artículo Sistema dual . Sin embargo, para mayor claridad, ahora lo repetimos.

Definición. La topología débil en Y inducida por X ( yb ) es la topología más débil en Y , denotada por 𝜎 ( Y , X , b ) o simplemente 𝜎 ( Y , X ) , lo que hace que todos los mapas sean b ( x , •): Y → 𝕂 continua, como x rangos de más de X . ^[1]

Si el campo 𝕂 tiene un valor absoluto | ⋅ | , entonces la topología débil 𝜎 ( X , Y , b ) en X es inducida por la familia de seminormas , p _y  : X → ℝ , definida por

p _y ( x ): = | b ( x , y ) |

para todos y ∈ Y y x ∈ X . Esto muestra que las topologías débiles son localmente convexas .

Suposición. De ahora en adelante asumiremos que 𝕂 son los números reales ℝ o los números complejos ℂ .

Dualidad canónica

Consideremos ahora el caso especial donde Y es un subespacio vectorial del espacio dual algebraico de X (es decir, un espacio vectorial de funcionales lineales en X ).

Existe un emparejamiento, denotado por o , llamado emparejamiento canónico cuyo mapa bilineal es el mapa de evaluación canónico , definido por para todos y . Tenga en cuenta en particular que es solo otra forma de denotar ie .${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$${\displaystyle (X,Y)}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x'\in Y}$${\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle }$${\displaystyle x'}$${\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle =x'(\cdot )}$

Suposición. Si Y es un subespacio vectorial del espacio dual algebraica de X a continuación, vamos a suponer que están asociados con el emparejamiento canónica ⟨ X , Y ⟩ .

En este caso, la topología débil en X (resp. La topología débil en Y ), denotada por 𝜎 ( X , Y ) (resp. Por 𝜎 ( Y , X ) ) es la topología débil en X (resp. En Y ) con respecto a la canónica emparejamiento ⟨ X , Y ⟩ .

La topología σ ( X , Y ) es la topología inicial de X con respecto a Y .

Si Y es un espacio vectorial de funcionales lineales en X , entonces el dual continuo de X con respecto a la topología σ ( X , Y ) es precisamente igual a Y . ^[1] ( Rudin 1991 , Teorema 3.10)

Las topologías débiles y débiles *

Sea X un espacio vectorial topológico (TVS) sobre 𝕂 , es decir, X es un espacio vectorial 𝕂 equipado con una topología para que la suma de vectores y la multiplicación escalar sean continuas. Llamamos a la topología que X comienza con la topología original , inicial o dada (se advierte al lector contra el uso de los términos " topología inicial " y " topología fuerte"para referirse a la topología original, ya que estos ya tienen significados bien conocidos, por lo que su uso puede causar confusión). Podemos definir una topología posiblemente diferente en X usando el espacio dual topológico o continuo , que consiste en todos los funcionales lineales de X a el campo base 𝕂 que son continuos con respecto a la topología dada.${\displaystyle X^{*}}$

Recordemos que es el mapa de evaluación canónico definido por para todos y , donde en particular ,.${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x'\in X^{*}}$${\displaystyle \langle \cdot ,x'\rangle =x'(\cdot )=x'}$

Definición. La topología débil en X es la topología débil en X con respecto al emparejamiento canónico . Es decir, es la topología más débil en X, lo que hace que todos los mapas sean continuos, ya que los rangos superan . ^[1]${\displaystyle \langle X,X^{*}\rangle }$${\displaystyle x'=\langle \cdot ,x'\rangle :X\to \mathbb {K} }$${\displaystyle x'}$${\displaystyle X^{*}}$

Definición : La topología débil activada${\displaystyle X^{*}}$ es la topología débil activada con respecto al emparejamiento canónico . Es decir, es la topología más débil de lo que todos los mapas continua, como x rangos de más de X . ^[1] Esta topología también se denomina topología débil * .${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \langle X,X^{*}\rangle }$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle \langle x,\cdot \rangle :X^{*}\to \mathbb {K} }$

Damos definiciones alternativas a continuación.

Topología débil inducida por el espacio dual continuo

Alternativamente, la topología débil en un TVS X es la topología inicial con respecto a la familia . En otras palabras, es la topología más burda en X, de modo que cada elemento de sigue siendo una función continua .${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$

Una subbase para la topología débil es la colección de conjuntos de la forma donde y U es un subconjunto abierto del campo base 𝕂 . En otras palabras, un subconjunto de X está abierto en la topología débil si y solo si puede escribirse como una unión de conjuntos (posiblemente infinitos), cada uno de los cuales es una intersección de un número finito de conjuntos de la forma .${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$${\displaystyle \phi \in X^{*}}$${\displaystyle \phi ^{-1}(U)}$

Desde este punto de vista, la topología débil es la topología polar más burda ; consulte topología débil (topología polar) para obtener más detalles.

Convergencia débil

Más información: Convergencia débil (espacio de Hilbert)

La topología débil se caracteriza por la siguiente condición: una red en X converge en la topología débil al elemento x de X si y solo si converge en ℝ o ℂ para todos .${\displaystyle (x_{\lambda })}$${\displaystyle \phi (x_{\lambda })}$${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \phi \in X^{*}}$

En particular, si es una secuencia en X , entonces converge débilmente ax si${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle \varphi (x_{n})\to \varphi (x)}$

como n → ∞ para todos . En este caso, se acostumbra escribir${\displaystyle \varphi \in X^{*}}$

${\displaystyle x_{n}{\overset {\mathrm {w} }{\longrightarrow }}x}$

o algunas veces,

${\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x.}$

Otras propiedades

Si X está equipado con la topología débil, entonces la suma y la multiplicación escalar siguen siendo operaciones continuas, y X es un espacio vectorial topológico localmente convexo .

Si X es un espacio normado, entonces el espacio dual es en sí mismo un espacio vectorial normado utilizando la norma${\displaystyle X^{*}}$

${\displaystyle \|\phi \|=\sup _{\|x\|\leq 1}|\phi (x)|.}$

Esta norma da lugar a una topología, denominada topología fuerte , en . Esta es la topología de convergencia uniforme . Las topologías uniformes y fuertes son generalmente diferentes para otros espacios de mapas lineales; vea abajo.${\displaystyle X^{*}}$

Topología débil *

Ver también: topología polar

La topología débil * es un ejemplo importante de topología polar .

Se puede incrustar un espacio X en su doble X ** doble mediante

${\displaystyle x\mapsto {\begin{cases}T_{x}:X^{*}\to \mathbb {K} \\T_{x}(\phi )=\phi (x)\end{cases}}}$

Por lo tanto, es un mapeo lineal inyectivo , aunque no necesariamente sobreyectivo (los espacios para los que esta incrustación canónica es sobreyectiva se denominan reflexivos ). La topología débil * en es la topología débil inducida por la imagen de . En otras palabras, es la topología más burda de modo que los mapas T _x , definidos por desde al campo base ℝ o ℂ permanecen continuos.${\displaystyle T:X\to X^{**}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle T:T(X)\subset X^{**}}$${\displaystyle T_{x}(\phi )=\phi (x)}$${\displaystyle X^{*}}$

Convergencia débil *

Una red en es convergente a en la topología débil- * si converge puntualmente:${\displaystyle \phi _{\lambda }}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi _{\lambda }(x)\to \phi (x)}$

para todos . En particular, una secuencia de converge a siempre que${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \phi _{n}\in X^{*}}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi _{n}(x)\to \phi (x)}$

para todos x ∈ X . En este caso, se escribe

${\displaystyle \phi _{n}{\overset {w^{*}}{\to }}\phi }$

como n → ∞ .

La convergencia débil * a veces se denomina convergencia simple o convergencia puntual . De hecho, coincide con la convergencia puntual de funcionales lineales.

Propiedades

Si X es un espacio localmente convexo separable (es decir, tiene un subconjunto denso contable) y H es un subconjunto delimitado por normas de su espacio dual continuo, entonces H dotado de la topología débil * (subespacio) es un espacio topológico metrizable . ^[1] Si X es un espacio localmente convexo metrizable separable , entonces la topología débil * en el espacio dual continuo de X es separable. ^[1]

Propiedades en espacios normativos

Por definición, la topología débil * es más débil que la topología débil en . Un hecho importante sobre los débiles * topología es el teorema de Banach-Alaoglu : si X está normado, entonces la bola unidad cerrada en es débil * - compacta (en términos más generales, el polar en un entorno de 0 en X es débil * -compact ). Además, la bola unitaria cerrada en un espacio normado X es compacta en la topología débil si y solo si X es reflexivo .${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$

En más generalidad, sea F un campo con valores compactos localmente (por ejemplo, los reales, los números complejos o cualquiera de los sistemas numéricos p-ádicos). Deje que X sea un espacio vectorial topológico normado sobre F , compatible con el valor absoluto en F . Luego , en el espacio dual topológico X de funcionales lineales continuos con valor F en X , todas las bolas de norma cerrada son compactas en la topología débil *.${\displaystyle X^{*}}$

Si X es un espacio normado, entonces un subconjunto del dual continuo es débil * compacto si y solo si es débil * cerrado y limitado por normas. ^[1] Esto implica, en particular, que cuando X es un espacio normado de dimensión infinita, entonces la bola unitaria cerrada en el origen en el espacio dual de X no contiene ninguna vecindad débil * de 0. ^[1]

Si X es un espacio normado, entonces X es separable si y solo si la topología débil- * en la bola unitaria cerrada de es metrizable, ^[1] en cuyo caso la topología débil * es metrizable en subconjuntos delimitados por normas de . Si un espacio normado X tiene un espacio dual que es separable (con respecto a la topología de norma dual), entonces X es necesariamente separable. ^[1] Si X es un espacio de Banach , la topología débil * no es metrizable en todos a menos que X sea ​​de dimensión finita. ^[2]${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$

Ejemplos

Espacios de Hilbert

Considere, por ejemplo, la diferencia entre la convergencia fuerte y débil de funciones en el espacio de Hilbert L 2 (ℝ n ) . Una fuerte convergencia de una secuencia a un elemento ψ significa que${\displaystyle \psi _{k}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}|\psi _{k}-\psi |^{2}\,{\rm {d}}\mu \,\to 0}$

como k → ∞ . Aquí la noción de convergencia corresponde a la norma en L ² .

Por el contrario, la convergencia débil solo exige que

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bar {\psi }}_{k}f\,\mathrm {d} \mu \to \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bar {\psi }}f\,\mathrm {d} \mu }$

para todas las funciones f ∈ L ² (o, más típicamente, todas f en un subconjunto denso de L ² como un espacio de funciones de prueba , si la secuencia { ψ _k } está acotada). Para determinadas funciones de prueba, la noción relevante de convergencia solo corresponde a la topología utilizada en ℂ .

Por ejemplo, en el espacio de Hilbert L ² (0, π) , la secuencia de funciones

${\displaystyle \psi _{k}(x)={\sqrt {2/\pi }}\sin(kx)}$

forman una base ortonormal . En particular, la (fuerte) límite de como k → ∞ no existe. Por otro lado, según el lema de Riemann-Lebesgue , el límite débil existe y es cero.${\displaystyle \psi _{k}}$

Distribuciones

Artículo principal: distribución (matemáticas)

Normalmente, se obtienen espacios de distribuciones formando el dual fuerte de un espacio de funciones de prueba (como las funciones suaves con soporte compacto en ℝ ⁿ ). En una construcción alternativa de tales espacios, se puede tomar el dual débil de un espacio de funciones de prueba dentro de un espacio de Hilbert como L ² . Por lo tanto, uno se ve llevado a considerar la idea de un espacio de Hilbert manipulado .

Topología débil inducida por el dual algebraico

Suponga que X es un espacio vectorial y X ^# es el espacio dual algebraico de X (es decir, el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en X ). Si X está dotado de la topología débil inducida por X ^#, entonces el espacio dual continuo de X es X ^# , cada subconjunto acotado de X está contenido en un subespacio vectorial de dimensión finita de X , cada subespacio vectorial de X está cerrado y tiene un complemento topológico . ^[3]

Topologías de operador

Si X e Y son espacios vectoriales topológicos, el espacio L ( X , Y ) de los operadores lineales continuos f  : X  →  Y puede llevar una variedad de diferentes topologías posibles. La denominación de tales topologías depende del tipo de topología que se esté utilizando en el espacio objetivo Y para definir la convergencia de operadores ( Yosida 1980 , IV.7 Topologías de mapas lineales). En general, existe una amplia gama de posibles topologías de operadores en L ( X , Y ), cuya denominación no es del todo intuitiva.

Por ejemplo, la topología de operador fuerte en L ( X , Y ) es la topología de convergencia puntual . Por ejemplo, si Y es un espacio normado, entonces esta topología está definida por las seminormas indexadas por x ∈ X :

${\displaystyle f\mapsto \|f(x)\|_{Y}.}$

De manera más general, si una familia de seminormas Q define la topología en Y , entonces los seminormas p _{q , x} en L ( X , Y ) que definen la topología fuerte están dados por

${\displaystyle p_{q,x}:f\mapsto q(f(x)),}$

indexado por q ∈ Q y x ∈ X .

En particular, consulte la topología de operador débil y la topología de operador débil * .

Ver también

• Eberlein compactum , un conjunto compacto en la topología débil
• Convergencia débil (espacio de Hilbert)
• Topología de operador de estrella débil
• Débil convergencia de medidas
• Topologías en espacios de mapas lineales
• Topologías en el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert
• Topología vaga

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011 , págs. 225-273.
2. Proposición 2.6.12, p. 226 en Megginson, Robert E. (1998), Introducción a la teoría del espacio de Banach , Textos de posgrado en matemáticas, 183 , Nueva York: Springer-Verlag, págs. Xx + 596, ISBN 0-387-98431-3.
3. Trèves 2006 , págs.36, 201.

Bibliografía

• Conway, John B. (1994), Un curso de análisis funcional (2a ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97245-5
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Pedersen, Gert (1989), Análisis ahora , Springer, ISBN 0-387-96788-5
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie Internacional de Matemática Pura y Aplicada. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios, distribuciones y núcleos vectoriales topológicos . Mineola, NY: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• Willard, Stephen (febrero de 2004). Topología general . Publicaciones de Courier Dover. ISBN 9780486434797.
• Yosida, Kosaku (1980), Análisis funcional (6.a ed.), Springer, ISBN 978-3-540-58654-8