Ecuación de Lane-Emden

En astrofísica , la ecuación de Lane-Emden es una forma adimensional de la ecuación de Poisson para el potencial gravitatorio de un fluido politrópico newtoniano autogravitatorio, esféricamente simétrico . Lleva el nombre de los astrofísicos Jonathan Homer Lane y Robert Emden . ^[1] La ecuación dice

donde es un radio adimensional y está relacionado con la densidad y, por lo tanto, con la presión, por densidad central . El índice es el índice politrópico que aparece en la ecuación de estado politrópica,${\ estilo de visualización \ xi}$${\ estilo de visualización \ theta}$${\ estilo de visualización \ rho = \ rho _ {c} \ theta ^ {n}}$${\ estilo de visualización \ rho _ {c}}$${\ estilo de visualización n}$

donde y son la presión y la densidad, respectivamente, y es una constante de proporcionalidad. Las condiciones de contorno estándar son y . Las soluciones describen así la carrera de la presión y la densidad con el radio y se conocen como politropos de índice . Si se utiliza un fluido isotérmico (índice politrópico que tiende a infinito) en lugar de un fluido politrópico, se obtiene la ecuación de Emden-Chandrasekhar .${\ estilo de visualización P}$${\ estilo de visualización \ rho}$${\ estilo de visualización K}$${\ estilo de visualización \ theta (0) = 1}$${\ estilo de visualización \ theta '(0) = 0}$${\ estilo de visualización n}$

Físicamente, el equilibrio hidrostático conecta el gradiente de potencial, la densidad y el gradiente de presión, mientras que la ecuación de Poisson conecta el potencial con la densidad. Por lo tanto, si tenemos otra ecuación que dicte cómo varían la presión y la densidad entre sí, podemos llegar a una solución. La elección particular de un gas politrópico como se indicó anteriormente hace que el enunciado matemático del problema sea particularmente sucinto y conduce a la ecuación de Lane-Emden. La ecuación es una aproximación útil para esferas de plasma autogravitatorias como las estrellas, pero por lo general es una suposición bastante limitante.

Considere un fluido con simetría esférica y autogravitatorio en equilibrio hidrostático . La masa se conserva y, por lo tanto, se describe mediante la ecuación de continuidad.

donde es una función de . La ecuación del equilibrio hidrostático es${\ estilo de visualización \ rho}$${\ estilo de visualización r}$

Soluciones de la ecuación de Lane-Emden para n = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Solución numérica para la solución analítica de la ecuación de Lane-Emden en el plano complejo para , . Se ven dos singularidades móviles en el eje imaginario. Limitan el radio de convergencia de la solución analítica alrededor del origen. Para diferentes valores de datos iniciales y la ubicación de las singularidades es diferente, sin embargo, se ubican simétricamente en el eje imaginario. ^[5]${\ estilo de visualización n = 5}$${\ estilo de visualización \ theta (0) = 2}$${\ estilo de visualización p}$