En astrofísica , la ecuación de Emden-Chandrasekhar es una forma adimensional de la ecuación de Poisson para la distribución de densidad de una esfera de gas isotérmica esféricamente simétrica sujeta a su propia fuerza gravitacional, llamada así por Robert Emden y Subrahmanyan Chandrasekhar . [1] [2] La ecuación fue introducida por primera vez por Robert Emden en 1907. [3] La ecuación [4] dice
dónde es el radio adimensional y está relacionado con la densidad de la esfera de gas como , dónde es la densidad del gas en el centro. La ecuación no tiene una solución explícita conocida. Si se utiliza un fluido politrópico en lugar de un fluido isotérmico, se obtiene la ecuación de Lane-Emden . La suposición isotérmica generalmente se modela para describir el núcleo de una estrella. La ecuación se resuelve con las condiciones iniciales,
La ecuación también aparece en otras ramas de la física, por ejemplo, la misma ecuación aparece en la teoría de la explosión de Frank-Kamenetskii para una vasija esférica. La versión relativista de este modelo isotérmico esféricamente simétrico fue estudiada por Subrahmanyan Chandrasekhar en 1972. [5]
Derivación
Para una estrella gaseosa isotérmica , la presiónse debe a la presión cinética y a la presión de radiación
dónde
- es la densidad
- es la constante de Boltzmann
- es el peso molecular medio
- es la masa del protón
- es la temperatura de la estrella
- es la constante de Stefan-Boltzmann
- es la velocidad de la luz
La ecuación para el equilibrio de la estrella requiere un equilibrio entre la fuerza de presión y la fuerza gravitacional.
dónde es el radio medido desde el centro y es la constante gravitacional . La ecuación se reescribe como
Introduciendo la transformación
dónde es la densidad central de la estrella, conduce a
Las condiciones de contorno son
Para , la solución es como
Limitaciones del modelo
Asumir que la esfera isotérmica tiene algunas desventajas. Aunque la densidad obtenida como solución de esta esfera de gas isotérmica disminuye desde el centro, disminuye demasiado lentamente para dar una superficie bien definida y una masa finita para la esfera. Se puede demostrar que, como,
dónde y son constantes que se obtendrán con solución numérica. Este comportamiento de la densidad da lugar a un aumento de masa con un aumento de radio. Así, el modelo suele ser válido para describir el núcleo de la estrella, donde la temperatura es aproximadamente constante. [6]
Solución singular
Introduciendo la transformación transforma la ecuación a
La ecuación tiene una solución singular dada por
Por tanto, se puede introducir una nueva variable como , donde la ecuación para puede ser derivado,
Esta ecuación se puede reducir a primer orden introduciendo
entonces nosotros tenemos
Reducción
Hay otra reducción debida a Edward Arthur Milne . Definamos
luego
Propiedades
- Si es una solución a la ecuación de Emden-Chandrasekhar, entonces es también una solución de la ecuación, donde es una constante arbitraria.
- Las soluciones de la ecuación de Emden-Chandrasekhar que son finitas en el origen tienen necesariamente a
Ver también
Referencias
- ^ Chandrasekhar, Subrahmanyan y Subrahmanyan Chandrasekhar. Una introducción al estudio de la estructura estelar. Vol. 2. Courier Corporation, 1958.
- ^ Chandrasekhar, S. y Gordon W. Wares. "La función isotérmica". The Astrophysical Journal 109 (1949): 551-554. http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?1949ApJ...109..551C&defaultprint=YES&filetype=.pdf
- ^ Emden, R. (1907). Gaskugeln: Anwendungen der mechanischen Wärmetheorie auf kosmologische und meteorologische Probleme. B. Teubner ..
- ^ Kippenhahn, Rudolf, Alfred Weigert y Achim Weiss. Estructura y evolución estelar. Vol. 282. Berlín: Springer-Verlag, 1990.
- ^ Chandrasekhar, S. (1972). Un caso límite de equilibrio relativista. En General Relativity (en honor a JL Synge), ed. L. O'Raifeartaigh. Oxford. Clarendon Press (págs. 185-199).
- ^ Henrich, LR y Chandrasekhar, S. (1941). Modelos estelares con núcleos isotérmicos. The Astrophysical Journal, 94, 525.