En astrofísica , la ecuación de Lane-Emden es una forma adimensional de la ecuación de Poisson para el potencial gravitatorio de un fluido politrópico newtoniano autogravitatorio, esféricamente simétrico . Lleva el nombre de los astrofísicos Jonathan Homer Lane y Robert Emden . [1] La ecuación dice
donde es un radio adimensional y está relacionado con la densidad y, por lo tanto, con la presión, por densidad central . El índice es el índice politrópico que aparece en la ecuación de estado politrópica,
donde y son la presión y la densidad, respectivamente, y es una constante de proporcionalidad. Las condiciones de contorno estándar son y . Las soluciones describen así la carrera de la presión y la densidad con el radio y se conocen como politropos de índice . Si se utiliza un fluido isotérmico (índice politrópico que tiende a infinito) en lugar de un fluido politrópico, se obtiene la ecuación de Emden-Chandrasekhar .
Físicamente, el equilibrio hidrostático conecta el gradiente de potencial, la densidad y el gradiente de presión, mientras que la ecuación de Poisson conecta el potencial con la densidad. Por lo tanto, si tenemos otra ecuación que dicte cómo varían la presión y la densidad entre sí, podemos llegar a una solución. La elección particular de un gas politrópico como se indicó anteriormente hace que el enunciado matemático del problema sea particularmente sucinto y conduce a la ecuación de Lane-Emden. La ecuación es una aproximación útil para esferas de plasma autogravitatorias como las estrellas, pero por lo general es una suposición bastante limitante.
Considere un fluido con simetría esférica y autogravitatorio en equilibrio hidrostático . La masa se conserva y, por lo tanto, se describe mediante la ecuación de continuidad.
donde es una función de . La ecuación del equilibrio hidrostático es