Lema negro

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En matemáticas , el lema de Schwarz , llamado así por Hermann Amandus Schwarz , es un resultado de análisis complejo sobre funciones holomorfas desde el disco unitario abierto hasta sí mismo. El lema es menos famoso que los teoremas más profundos, como el teorema de mapeo de Riemann , que ayuda a demostrar. Sin embargo, es uno de los resultados más simples que capturan la rigidez de las funciones holomorfas.

Sea el disco unitario abierto en el plano complejo centrado en el origen , y sea ​​una aplicación holomorfa tal que y en adelante .${\displaystyle \mathbf {D} =\{z:|z|<1\}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$${\displaystyle f:\mathbf {D} \rightarrow \mathbb {C} }$${\ estilo de visualización f (0) = 0}$${\ estilo de visualización | f (z) | \ leq 1}$${\ estilo de visualización \ mathbf {D}}$

Entonces para todos , y .${\ estilo de visualización | f (z) | \ leq | z |}$${\displaystyle z\in \mathbf {D} }$${\ estilo de visualización | f' (0) | \ leq 1}$

Además, si para algunos distintos de cero o , entonces para algunos con . ^[1]${\displaystyle |f(z)|=|z|}$${\ estilo de visualización z}$${\ estilo de visualización | f' (0) | = 1}$${\ estilo de visualización f (z) = az}$${\displaystyle a\en \mathbb {C} }$${\ estilo de visualización | un | = 1}$

que es holomorfa en todo , incluso en el origen (porque es diferenciable en el origen y fija cero). Ahora bien, si denota el disco cerrado de radio centrado en el origen, entonces el principio del módulo máximo implica que, para , dado cualquier , existe en el límite de tal que${\ estilo de visualización D}$${\ estilo de visualización f}$${\displaystyle D_{r}=\{z:|z|\leq r\}}$${\ estilo de visualización r}$${\ estilo de visualización r <1}$${\ estilo de visualización z \ en D_ {r}}$${\ estilo de visualización z_ {r}}$${\displaystyle D_{r}}$

A medida que conseguimos .${\ estilo de visualización r \ flecha derecha 1}$${\displaystyle |g(z)|\leq 1}$

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