La función de Schwarz de una curva en el plano complejo es una función analítica que asigna los puntos de la curva a sus conjugados complejos . Se puede utilizar para generalizar el principio de reflexión de Schwarz a la reflexión a través de curvas analíticas arbitrarias , no solo a través del eje real.
La función de Schwarz existe para curvas analíticas. Más precisamente, para cada arco de Jordan analítico no singular en el plano complejo, hay un vecindario abierto de y una función analítica única en tal que para cada . [1]
La "función de Schwarz" fue nombrada por Philip J. Davis y Henry O. Pollak (1958) en honor a Hermann Schwarz , [2] [3] quien introdujo el principio de reflexión de Schwarz para curvas analíticas en 1870. [4] Sin embargo, el La función de Schwarz no aparece explícitamente en las obras de Schwarz. [5]
Ejemplos de
El círculo unitario se describe mediante la ecuación , o . Por tanto, la función de Schwarz del círculo unitario es.
Un ejemplo más complicado es una elipse definida por. La función de Schwarz se puede encontrar sustituyendo y y resolviendo para . El resultado es: [6]
- .
Esto es analítico en el plano complejo menos un corte de rama a lo largo del segmento de línea entre los dos puntos..
Referencias
- ^ Shapiro 1992 , p. 3
- ^ Davis, Phillip ; Pollak, Henry (enero de 1958). "Sobre la continuación analítica de las funciones de mapeo" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 87 : 198-225. doi : 10.2307 / 1993097 . JSTOR 1993097 .
- ^ Needham 1997 , p. 255
- ^ Schwarz, HA (1870). "Ueber die Integration der paritellen Differentialgleichungunter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitsbedingungen " . Monatsberichte der Königlichen Preussische Akademie des Wissenschaften zu Berlin : 767–795. Reimpreso en: Schwarz, HA (1890). Gesammelte Mathematische Abhandlungen . II . págs. 144-171.
- ^ Shapiro 1992 , p. 2
- ^ Needham 1997 , p. 256
- Davis, Philip J. (1974). La función Schwarz y sus aplicaciones . Monografías de Carus 17 . Asociación Matemática de América . ISBN 978-0-883-85017-6. OCLC 912405492 .
- Needham, Tristan (1997). Análisis visual complejo . Prensa de Clarendon. ISBN 978-0-19-853447-1.
- Shapiro, Harold S. (18 de marzo de 1992). La función de Schwarz y su generalización a dimensiones superiores . John Wiley e hijos . ISBN 978-0-471-57127-8. OCLC 924755133 .