Variedad Scorza

En matemáticas, una variedad k - Scorza es una variedad proyectiva suave, de dimensión máxima entre aquellas cuyas variedades secantes k –1 no son la totalidad del espacio proyectivo. Las variedades Scorza fueron introducidas y clasificadas por Zak  ( 1993 ), quien las nombró en honor a Gaetano Scorza . El caso especial de las variedades 2-Scorza a veces se denominan variedades Severi , en honor a Francesco Severi .

Clasificación

Zak mostró que las variedades k- Scorza son las variedades proyectivas de las matrices de rango 1 de álgebras de Jordan simples de rango k .

Variedades Severi

Las variedades Severi son las variedades no singulares de dimensión n (par) en P ^N que pueden proyectarse isomórficamente a un hiperplano y satisfacer N = 3 n / 2 + 2.

• Severi demostró en 1901 que la única variedad Severi con n = 2 es la superficie Veronese en P ⁵ .
• La única variedad Severi con n = 4 es la incrustación Segre de P ² × P ² en P ⁸ , encontrada por Scorza en 1908.
• La única variedad Segre con n = 8 es la Grassmannian G (1,5) de 8 dimensiones de líneas en P ⁵ incrustadas en P ¹⁴ , encontrada por John Greenlees Semple en 1931.
• La única variedad Severi con n = 16 es una variedad de 16 dimensiones E ₆ / Spin (10) U (1) en P ²⁶ encontrada por Robert Lazarsfeld en 1981.

Estas 4 variedades de Severi se pueden construir de manera uniforme, como órbitas de grupos que actúan sobre las complejizaciones de las matrices hermitianas de 3 por 3 sobre las cuatro álgebras de división reales (posiblemente no asociativas) de dimensiones 2 ^k = 1, 2, 4, 8. Estas representaciones tienen dimensiones complejas 3 (2 ^k +1) = 6, 9, 15 y 27, dando variedades de dimensión 2 ^{k +1} = 2, 4, 8, 16 en espacios proyectivos de dimensiones 3 (2 ^k ) +2 = 5, 8, 14 y 26.

Zak demostró que las únicas variedades de Severi son las 4 enumeradas anteriormente, de dimensiones 2, 4, 8, 16.

Referencias

• Hartshorne, Robin (1974), "Varieties of small codimension in projective space", Bulletin of the American Mathematical Society , 80 (6): 1017–1032, doi : 10.1090 / S0002-9904-1974-13612-8 , ISSN  0002- 9904 , MR  0384816
• Zak, FL (1981), "Proyecciones de variedades algebraicas", Matematicheskii Sbornik , Novaya Seriya, 116 (158) (4): 593–602, 608, ISSN  0368-8666 , MR  0665860
• Lazarsfeld, Robert; Van de Ven, Antonius (1984), Temas en la geometría del espacio proyectivo , Seminario DMV, 4 , Birkhäuser Verlag, doi : 10.1007 / 978-3-0348-9348-0 , ISBN 978-3-7643-1660-0, MR  0808175
• Zak, FL (1985), "Variedades Severi", Matematicheskii Sbornik , Novaya Seriya, 126 (168) (1): 115-132, 144, ISSN  0368-8666 , MR  0773432
• Zak, FL (1993), Tangentes y secantes de variedades algebraicas , Traducciones de monografías matemáticas, 127 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4585-1, MR  1234494