En matemáticas , la incrustación de Segre se utiliza en geometría proyectiva para considerar el producto cartesiano (de conjuntos) de dos espacios proyectivos como una variedad proyectiva . Lleva el nombre de Corrado Segre .
Definición
El mapa de Segre se puede definir como el mapa
tomando un par de puntos a su producto
(las X i Y j se toman en orden lexicográfico ).
Aquí, y son espacios vectoriales proyectivos sobre algún campo arbitrario , y la notación
es el de coordenadas homogéneas en el espacio. La imagen del mapa es una variedad, llamada variedad Segre . A veces se escribe como.
Discusión
En el lenguaje del álgebra lineal , para los espacios vectoriales U y V dados sobre el mismo campo K , existe una forma natural de mapear su producto cartesiano con su producto tensorial .
En general, esto no tiene por qué ser inyectivo porque, para en , en y cualquier distinto de cero en ,
Considerando los espacios proyectivos subyacentes P ( U ) y P ( V ), este mapeo se convierte en un morfismo de variedades.
Esto no es solo inyectivo en el sentido de la teoría de conjuntos: es una inmersión cerrada en el sentido de la geometría algebraica . Es decir, se puede dar un conjunto de ecuaciones para la imagen. Excepto por problemas de notación, es fácil decir lo que dichas ecuaciones son: expresan dos formas de productos de factorización de coordenadas desde el producto tensorial, obtenidos de dos maneras diferentes como algo de U veces algo de V .
Este mapeo o morfismo σ es la incrustación de Segre . Contando dimensiones, se muestra cómo el producto de espacios proyectivas de dimensiones m y n incrusta en dimensión
La terminología clásica llama a las coordenadas del producto multihomogéneas y al producto generalizado a k factores de espacio proyectivo de k vías .
Propiedades
La variedad Segre es un ejemplo de variedad determinante ; es el lugar geométrico cero de los 2 × 2 menores de la matriz. Es decir, la variedad Segre es el locus cero común de los polinomios cuadráticos
Aquí, se entiende como la coordenada natural de la imagen del mapa del Segre.
La variedad Segre es el producto categórico de y . [1] La proyección
al primer factor se puede especificar mediante mapas m + 1 en subconjuntos abiertos que cubren la variedad Segre, que coinciden en las intersecciones de los subconjuntos. Para fijo, el mapa se da enviando a . Las ecuaciones asegúrese de que estos mapas concuerden entre sí, porque si tenemos .
Las fibras del producto son subespacios lineales. Es decir, deja
sea la proyección al primer factor; y de la misma manerapara el segundo factor. Entonces la imagen del mapa
para un punto fijo p es un subespacio lineal del codominio .
Ejemplos de
Quadric
Por ejemplo, con m = n = 1 obtenemos una incrustación del producto de la línea proyectiva consigo misma en P 3 . La imagen es cuadrática y se ve fácilmente que contiene dos familias de líneas de un parámetro. Sobre los números complejos, este es un cuádrico no singular bastante general . Dejando
sean las coordenadas homogéneas en P 3 , este cuadrático se da como el lugar geométrico cero del polinomio cuadrático dado por el determinante
Segre triple
El mapa
se conoce como el Segre triple . Es un ejemplo de un rollo normal racional. La intersección del Segre triple y un triple planoes una curva cúbica retorcida .
Variedad veronesa
La imagen de la diagonal bajo el mapa de Segre está la variedad veronesa de grado dos
Aplicaciones
Debido a que el mapa de Segre es el producto categórico de los espacios proyectivos, es un mapa natural para describir estados no entrelazados en la mecánica cuántica y la teoría de la información cuántica . Más precisamente, el mapa de Segre describe cómo tomar productos de espacios proyectivos de Hilbert .
En estadística algebraica , las variedades Segre corresponden a modelos de independencia.
La incrustación Segre de P 2 × P 2 en P 8 es la única variedad Severi de dimensión 4.
Referencias
- ^ McKernan, James (2010). "Curso de Geometría Algebraica, Clase 6: Productos y productos de fibra" (PDF) . material del curso en línea . Consultado el 11 de abril de 2014 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Harris, Joe (1995), Geometría algebraica: un primer curso , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97716-4
- Hassett, Brendan (2007), Introducción a la geometría algebraica , Cambridge: Cambridge University Press, p. 154, doi : 10.1017 / CBO9780511755224 , ISBN 978-0-521-69141-3, MR 2324354 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )