teorema de segre

En geometría proyectiva , el teorema de Segre , llamado así por el matemático italiano Beniamino Segre , es el enunciado:

Esta afirmación fue asumida en 1949 por los dos matemáticos finlandeses G. Järnefelt y P. Kustaanheimo y su demostración fue publicada en 1955 por B. Segre.

Un plano proyectivo pappiano finito se puede imaginar como el cierre proyectivo del plano real (por una línea en el infinito), donde los números reales son reemplazados por un campo finito K . Orden impar significa que | K | = n es impar. Un óvalo es una curva similar a un círculo (ver la definición a continuación): cualquier línea se encuentra con él en un máximo de 2 puntos y a través de cualquier punto hay exactamente una tangente. Los ejemplos estándar son las secciones cónicas proyectivas no degeneradas.

En planos proyectivos pappianos de orden par mayor que cuatro, hay óvalos que no son cónicos. En un plano infinito existen óvalos, que no son cónicas. En el plano real sólo se pega suavemente la mitad de un círculo y una elipse adecuada .

La demostración del teorema de Segre, que se muestra a continuación, utiliza la versión de 3 puntos del teorema de Pascal y una propiedad de un campo finito de orden impar, a saber, que el producto de todos los elementos distintos de cero es igual a -1.

Si la línea es una línea exterior (o de paso ); en caso de una recta tangente y si la recta es una recta secante .${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=0}$${\ estilo de visualización g}$${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=1}$${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=2}$

a la definición de un óvalo finito: tangente, secantes, es el orden del plano proyectivo (número de puntos en una línea -1)${\ estilo de visualización t}$${\displaystyle s_{1},...s_{n}}$${\ estilo de visualización n}$

porque la prueba es la tangente en${\displaystyle g_{\infty }}$${\displaystyle P_{3}}$

a la demostración del teorema de Pascal de los 3 puntos

Versión de 3 puntos del teorema de Pascal, para la prueba asumimos ${\displaystyle g_{\infty }={\overline {P_{2}P_{3}}}}$

Teorema de Segre: a su demostración