Pozo de potencial semicircular

Ejemplo elemental de fenómenos cuánticos y las aplicaciones de la mecánica cuántica.

En mecánica cuántica , el caso de una partícula en un anillo unidimensional es similar a la partícula en una caja . La partícula sigue el camino de un semicírculo de a donde no pueda escapar, porque el potencial de a es infinito. En cambio, hay una reflexión total, lo que significa que la partícula rebota de un lado a otro entre a . La ecuación de Schrödinger para una partícula libre que está restringida a un semicírculo (técnicamente, cuyo espacio de configuración es el círculo ) es ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle S^{1}}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =E\psi \quad (1)}$

Función de onda

Usando coordenadas cilíndricas en el semicírculo unidimensional, la función de onda depende solo de la coordenada angular , por lo que

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{s^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\quad (2)}$

Sustituyendo el Laplaciano en coordenadas cilíndricas, la función de onda se expresa por tanto como

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2ms^{2}}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi \quad (3)}$

El momento de inercia de un semicírculo, mejor expresado en coordenadas cilíndricas, es . Resolviendo la integral, se encuentra que el momento de inercia de un semicírculo es exactamente el mismo para un aro del mismo radio. La función de onda ahora se puede expresar como , que se puede resolver fácilmente. ${\displaystyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$${\displaystyle I=ms^{2}}$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi }$

Dado que la partícula no puede escapar de la región de a , la solución general a esta ecuación diferencial es ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \ \psi (\phi )=A\cos(m\phi )+B\sin(m\phi )\quad (4)}$

Definiendo , podemos calcular la energía como . Luego aplicamos las condiciones de contorno, donde y son continuas y la función de onda es normalizable:${\displaystyle m={\sqrt {\frac {2IE}{\hbar ^{2}}}}}$${\displaystyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\frac {d\psi }{d\phi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\left|\psi (\phi )\right|^{2}\,d\phi =1\ \quad (5)}$.

Al igual que el pozo cuadrado infinito, la primera condición de frontera exige que la función de onda sea igual a 0 en ambos y . Básicamente${\displaystyle \phi =0}$${\displaystyle \phi =\pi }$

${\displaystyle \ \psi (0)=\psi (\pi )=0\quad (6)}$.

Dado que la función de onda , el coeficiente A debe ser igual a 0 porque . La función de onda también es igual a 0 en, por lo que debemos aplicar esta condición de frontera. Descartando la solución trivial donde B = 0, la función de onda solo cuando m es un número entero desde . Esta condición de frontera cuantifica la energía donde la energía es igual a donde m es cualquier número entero. La condición m = 0 se descarta porque en todas partes, lo que significa que la partícula no está en el potencial en absoluto. También se descartan los números enteros negativos. ^{[ ¿por qué? ]}${\displaystyle \ \psi (0)=0}$${\displaystyle \ \cos(0)=1}$${\displaystyle \phi =\pi }$${\displaystyle \ \psi (\pi )=0=B\sin(m\pi )}$${\displaystyle \sin(n\pi )=0}$${\displaystyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$${\displaystyle \psi =0}$

Luego normalizamos la función de onda, obteniendo un resultado donde . La función de onda normalizada es${\displaystyle B={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$

${\displaystyle \ \psi (\phi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(m\phi )\quad (7)}$.

La energía del estado fundamental del sistema es . Al igual que la partícula en una caja, existen nodos en los estados excitados del sistema donde ambos y son 0, lo que significa que la probabilidad de encontrar la partícula en estos nodos es 0.${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}}{2I}}}$${\displaystyle \ \psi (\phi )}$${\displaystyle \ \psi (\phi )^{2}}$

Análisis

Dado que la función de onda solo depende del ángulo azimutal , las cantidades medibles del sistema son la posición angular y el momento angular, expresados ​​con los operadores y respectivamente.${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle L_{z}}$

Usando coordenadas cilíndricas, los operadores y se expresan como y respectivamente, donde estos observables juegan un papel similar a la posición y el momento de la partícula en una caja. Las relaciones de conmutación e incertidumbre para la posición angular y el momento angular se dan de la siguiente manera:${\displaystyle \phi }$${\displaystyle L_{z}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle -i\hbar {\frac {d}{d\phi }}}$

${\displaystyle [\phi ,L_{z}]=i\hbar \ \psi (\phi )\quad (8)}$

${\displaystyle (\Delta \phi )(\Delta L_{z})\geq {\frac {\hbar }{2}}}$donde y${\displaystyle \Delta _{\psi }\phi ={\sqrt {\langle {\phi }^{2}\rangle _{\psi }-\langle {\phi }\rangle _{\psi }^{2}}}}$${\displaystyle \Delta _{\psi }L_{z}={\sqrt {\langle {L_{z}}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {L_{z}}\rangle _{\psi }^{2}}}\quad (9)}$

Condiciones de borde

Al igual que con todos los problemas de mecánica cuántica, si las condiciones de contorno cambian, también lo hace la función de onda. Si una partícula se limita al movimiento de un anillo completo que va de 0 a , la partícula está sujeta solo a una condición de límite periódica (ver partícula en un anillo ). Si una partícula se limita al movimiento de a , la cuestión de la paridad par e impar se vuelve importante. ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle {\frac {-\pi }{2}}}$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

La ecuación de onda para tal potencial se da como:

${\displaystyle \ \psi _{\rm {o}}(\phi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(m\phi )\quad (10)}$

${\displaystyle \ \psi _{\rm {e}}(\phi )={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(m\phi )\quad (11)}$

donde y son para m pares e impares respectivamente.${\displaystyle \ \psi _{\rm {o}}(\phi )}$${\displaystyle \ \psi _{\rm {e}}(\phi )}$

De manera similar, si el pozo de potencial semicircular es un pozo finito, la solución se parecerá a la del pozo de potencial finito donde los operadores angulares y reemplazan a los operadores lineales x y p .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle L_{z}}$

Ver también

• Partícula en un anillo
• Partícula en una caja
• Pozo de potencial finito
• Potencial de función delta
• Gas en una caja
• Partícula en un potencial esférico simétrico