Un problema importante en la mecánica cuántica es el de una partícula en un potencial esférico simétrico , es decir, un potencial que depende sólo de la distancia entre la partícula y un punto central definido. En particular, si la partícula en cuestión es un electrón y el potencial se deriva de la ley de Coulomb , entonces el problema puede usarse para describir un átomo (o ión) similar al hidrógeno (un electrón).
En el caso general, la dinámica de una partícula en un potencial esféricamente simétrico está gobernada por un hamiltoniano de la siguiente forma:
dónde es la masa de la partícula, es el operador de impulso, y el potencial depende solo de , el módulo del vector de radio r . Las funciones de onda y energías de la mecánica cuántica (valores propios) se encuentran resolviendo la ecuación de Schrödinger con este hamiltoniano. Debido a la simetría esférica del sistema, es natural utilizar coordenadas esféricas , y . Cuando se hace esto, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el sistema es separable , lo que permite resolver fácilmente los problemas angulares y dejar una ecuación diferencial ordinaria en para determinar las energías para el potencial particular bajo discusión.
Estructura de las funciones propias
Los autoestados del sistema tienen la forma
en el que los ángulos polares esféricos θ y φ representan la colatitud y el ángulo azimutal , respectivamente. Los dos últimos factores de ψ a menudo se agrupan como armónicos esféricos , de modo que las funciones propias toman la forma
La ecuación diferencial que caracteriza la función se llama ecuación radial .
Derivación de la ecuación radial
El operador de energía cinética en coordenadas polares esféricas es
Los armónicos esféricos satisfacen
Sustituyendo esto en la ecuación de Schrödinger obtenemos una ecuación de valor propio unidimensional,
Esta ecuación se puede reducir a una ecuación de Schrödinger 1-D equivalente sustituyendo , dónde satisface
que es precisamente la ecuación unidimensional de Schrödinger con un potencial efectivo dado por
donde la coordenada radial r varía de 0 a. La corrección del potencial V ( r ) se denomina término de barrera centrífuga .
Si , luego cerca del origen, .
Soluciones para potenciales de interés
Surgen cinco casos especiales, de especial importancia:
- V ( r ) = 0, o resolviendo el vacío en base a armónicos esféricos , que sirve de base para otros casos.
- (finito) para e infinito en otra parte, o una partícula en el equivalente esférico del pozo cuadrado , útil para describir estados ligados en un núcleo o punto cuántico.
- Como el caso anterior, pero con un salto infinitamente alto en el potencial en la superficie de la esfera.
- V ( r ) ~ r 2 para el oscilador armónico isotrópico tridimensional.
- V ( r ) ~ 1 / r para describir estados ligados de átomos similares al hidrógeno .
Esbozamos las soluciones en estos casos, que deben compararse con sus contrapartes en coordenadas cartesianas , cf. partícula en una caja . Este artículo se basa en gran medida en funciones de Bessel y polinomios de Laguerre .
Caja de vacío
Consideremos ahora V ( r ) = 0 (si, reemplace en todas partes E con). Introduciendo la variable adimensional
la ecuación se convierte en una ecuación de Bessel para J definida por(de ahí la elección de notación de J ):
cuyas soluciones regulares para las energías positivas son dadas por las llamadas funciones de Bessel del primer tipo ' de modo que las soluciones escritas para R son la llamada función esférica de Bessel .
Las soluciones de la ecuación de Schrödinger en coordenadas polares para una partícula de masa en el vacío son etiquetados por tres números cuánticos: índices discretos l y m , y k varía continuamente en:
dónde , son las funciones esféricas de Bessel y son los armónicos esféricos.
Estas soluciones representan estados de momento angular definido, en lugar de momentos de momento definido (lineal), que son proporcionados por ondas planas. .
Esfera con potencial "cuadrado" finito
Consideremos ahora el potencial por y en otra parte. Es decir, dentro de una esfera de radioel potencial es igual a V 0 y es cero fuera de la esfera. Un potencial con una discontinuidad tan finita se llama potencial cuadrado. [1]
Primero consideramos los estados ligados, es decir, los estados que muestran la partícula principalmente dentro de la caja (estados confinados). Aquellos tienen una energía E menor que el potencial fuera de la esfera, es decir, tienen energía negativa, y veremos que hay un número discreto de tales estados, que compararemos con energía positiva con un espectro continuo, describiendo la dispersión en el esfera (de estados libres). También vale la pena notar que a diferencia del potencial de Coulomb, que presenta un número infinito de estados límite discretos, el pozo cuadrado esférico tiene solo un número finito (si lo hay) debido a su rango finito (si tiene una profundidad finita).
La resolución sigue esencialmente la del vacío con la normalización de la función de onda total agregada, resolviendo dos ecuaciones de Schrödinger, dentro y fuera de la esfera, del tipo anterior, es decir, con potencial constante. También se mantienen las siguientes restricciones:
- La función de onda debe ser regular en el origen.
- La función de onda y su derivada deben ser continuas en la discontinuidad potencial.
- La función de onda debe converger en el infinito.
La primera restricción viene del hecho de que Neumann N y Hankel H funciones son singulares en el origen. El argumento físico de que ψ debe definirse en todas partes seleccionó la función de Bessel del primer tipo J sobre las otras posibilidades en el caso del vacío. Por la misma razón, la solución será de este tipo dentro de la esfera:
con A una constante que se determinará más tarde. Tenga en cuenta que para los estados vinculados,.
Los estados ligados aportan la novedad en comparación con el caso del vacío en el que E es ahora negativo (en el vacío debía ser positivo). Esto, junto con la tercera restricción, selecciona la función de Hankel del primer tipo como la única solución convergente en el infinito (la singularidad en el origen de estas funciones no importa ya que ahora estamos fuera de la esfera):
Segunda restricción sobre la continuidad de ψ en junto con la normalización permite la determinación de las constantes A y B . La continuidad de la derivada (o derivada logarítmica por conveniencia) requiere cuantificación de energía.
Esfera con potencial "cuadrado" infinito
En caso de que el pozo potencial sea infinitamente profundo, para que podamos tomar dentro de la esfera y en el exterior, el problema es el de hacer coincidir la función de onda dentro de la esfera (las funciones esféricas de Bessel ) con la función de onda idénticamente cero fuera de la esfera. Las energías permitidas son aquellas para las que la función de onda radial desaparece en el límite. Por lo tanto, usamos los ceros de las funciones esféricas de Bessel para encontrar el espectro de energía y las funciones de onda. Vocaciónel k- ésimo cero de, tenemos:
De modo que uno se reduce a los cálculos de estos ceros. , normalmente mediante el uso de una tabla o calculadora, ya que estos ceros no se pueden resolver para el caso general.
En el caso especial (orbitales esféricos simétricos), la función esférica de Bessel es , cuyos ceros se pueden dar fácilmente como . Sus valores propios de energía son así:
Oscilador armónico isotrópico 3D
El potencial de un oscilador armónico isotrópico 3D es
En este artículo se muestra que un oscilador armónico isotrópico N -dimensional tiene las energías
es decir, n es un número entero no negativo; ω es la (misma) frecuencia fundamental de los N modos del oscilador. En este caso N = 3, por lo que la ecuación radial de Schrödinger se convierte en,
Introduciendo
y recordando que , mostraremos que la ecuación radial de Schrödinger tiene la solución normalizada,
donde la funcion es un polinomio de Laguerre generalizado en γr 2 de orden k (es decir, la potencia más alta del polinomio es proporcional a γ k r 2 k ).
La constante de normalización N nl es,
La función propia R n, l (r) pertenece a la energía E n y debe multiplicarse por el armónico esférico, dónde
Este es el mismo resultado que se da en el artículo Oscilador armónico , con la diferencia de notación menor de.
Derivación
Primero transformamos la ecuación radial mediante unas pocas sustituciones sucesivas a la ecuación diferencial de Laguerre generalizada, que tiene soluciones conocidas: las funciones de Laguerre generalizadas. Luego normalizamos las funciones de Laguerre generalizadas a la unidad. Esta normalización es con el elemento de volumen habitual r 2 d r .
Primero escalamos la coordenada radial
y luego la ecuación se convierte en
con .
La consideración del comportamiento limitante de v ( y ) en el origen y en el infinito sugiere la siguiente sustitución de v ( y ),
Esta sustitución transforma la ecuación diferencial en
donde nos dividimos con , que se puede hacer siempre que y no sea cero.
Transformación a polinomios de Laguerre
Si la sustitución se utiliza, , y los operadores diferenciales se convierten
La expresión entre corchetes multiplicando f ( y ) se convierte en la ecuación diferencial que caracteriza la ecuación de Laguerre generalizada (ver también la ecuación de Kummer ):
con .
Previsto es un número entero no negativo, las soluciones de estas ecuaciones son polinomios de Laguerre generalizados (asociados)
De las condiciones en k sigue: (i)y (ii) n y l son ambos pares o impares. Esto conduce a la condición que se mencionó anteriormente.
Recuperación de la función de onda radial normalizada.
Recordando eso , obtenemos la solución radial normalizada
La condición de normalización de la función de onda radial es
Sustituyendo , da y la ecuación se convierte en
Al hacer uso de las propiedades de ortogonalidad de los polinomios de Laguerre generalizados, esta ecuación se simplifica a
Por tanto, la constante de normalización se puede expresar como
Se pueden derivar otras formas de la constante de normalización mediante el uso de propiedades de la función gamma , al tiempo que se observa que n y l tienen la misma paridad. Esto significa que n + l es siempre par, por lo que la función gamma se convierte en
donde usamos la definición del doble factorial . Por tanto, la constante de normalización también viene dada por
Átomos similares al hidrógeno
Un átomo hidrógeno (similar al hidrógeno) es un sistema de dos partículas que consta de un núcleo y un electrón. Las dos partículas interactúan a través del potencial dado por la ley de Coulomb :
dónde
- ε 0 es la permitividad del vacío,
- Z es el número atómico ( eZ es la carga del núcleo),
- e es la carga elemental (carga del electrón),
- r es la distancia entre el electrón y el núcleo.
La masa m 0 , introducida anteriormente, es la masa reducida del sistema. Debido a que la masa del electrón es aproximadamente 1836 veces menor que la masa del núcleo más ligero (el protón), el valor de m 0 es muy cercano a la masa del electrón m e para todos los átomos hidrógenos. En el resto del artículo hacemos la aproximación m 0 = m e . Dado que m e aparecerá explícitamente en las fórmulas, será fácil corregir esta aproximación si es necesario.
Para simplificar la ecuación de Schrödinger, introducimos las siguientes constantes que definen la unidad atómica de energía y longitud, respectivamente,
Sustituir y en la ecuación radial de Schrödinger dada anteriormente. Esto da una ecuación en la que todas las constantes naturales están ocultas,
Existen dos clases de soluciones de esta ecuación: (i) W es negativo, las funciones propias correspondientes son integrables al cuadrado y los valores de W están cuantificados (espectro discreto). (ii) W no es negativo. Cada valor real no negativo de W está físicamente permitido (espectro continuo), las funciones propias correspondientes no son integrables en cuadrados. En la parte restante de este artículo solo se considerarán las soluciones de clase (i). Las funciones de onda se conocen como estados ligados , en contraste con las soluciones de clase (ii) que se conocen como estados de dispersión .
Para W negativo la cantidades real y positivo. La escala de y , es decir, la sustitución de da la ecuación de Schrödinger:
Para las potencias inversas de x son despreciables y una solución para x grande es. La otra solución,, es físicamente inaceptable. Parala potencia del cuadrado inverso domina y una solución para x pequeña es x l +1 . La otra solución, x - l , es físicamente inaceptable. Por lo tanto, para obtener una solución de rango completo, sustituimos
La ecuación para f l ( x ) se convierte en,
Previsto es un número entero no negativo, digamos k , esta ecuación tiene soluciones polinomiales escritas como
que son polinomios de Laguerre generalizados de orden k . Tomaremos la convención para polinomios de Laguerre generalizados de Abramowitz y Stegun. [2] ¡ Note que los polinomios de Laguerre dados en muchos libros de texto de mecánica cuántica, por ejemplo el libro del Mesías, [1] son los de Abramowitz y Stegun multiplicados por un factor ( 2l + 1 + k )! La definición dada en este artículo de Wikipedia coincide con la de Abramowitz y Stegun.
La energía se vuelve
El número cuántico principal n satisface, o . Desde, la función de onda radial total es
con constante de normalización que absorbe términos extra de
que pertenece a la energía
En el cálculo de la constante de normalización se hizo uso de la integral [3]
Referencias
- ^ a b A. Mesías, Mecánica cuántica , vol. Yo, p. 78, North Holland Publishing Company, Amsterdam (1967). Traducción del francés por GM Temmer
- ^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 22" . Handbook of Mathematical Functions con fórmulas, gráficos y matemáticos Tablas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 775. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64 a 60.036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 .
- ^ H. Margenau y GM Murphy, las matemáticas de la Física y Química , Van Nostrand, segunda edición (1956), p. 130. Nótese que la convención del polinomio de Laguerre en este libro difiere del presente. Si indicamos el Laguerre en la definición de Margenau y Murphy con una barra encima, tenemos.
- Gerald Teschl (2009). Métodos matemáticos en mecánica cuántica; Con aplicaciones para operadores de Schrödinger . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9780821846605.