En matemáticas, la conjetura de Sendov , a veces también llamada conjetura de Ilieff , se refiere a la relación entre las ubicaciones de las raíces y los puntos críticos de una función polinomial de una variable compleja . Lleva el nombre de Blagovest Sendov .
con todas las raíces r 1 , ..., r n dentro del disco unitario cerrado | z | ≤ 1, cada una de las n raíces está a una distancia no mayor de 1 de al menos un punto crítico.
El teorema de Gauss-Lucas dice que todos los puntos críticos se encuentran dentro del casco convexo de las raíces. De ello se deduce que los puntos críticos deben estar dentro del disco unitario, ya que las raíces están.
La conjetura fue planteada por primera vez por Blagovest Sendov en 1959; describió la conjetura a su colega Nikola Obreshkov . En 1967, Walter Hayman atribuyó erróneamente la conjetura [3] a Ljubomir Iliev . [4] En 1969 Meir y Sharma probaron la conjetura para polinomios con n <6. En 1991 Brown probó la conjetura para n <7. Borcea extendió la prueba a n <8 en 1996. Brown y Xiang [5] probaron la conjetura para n <9 en 1999. Terence Tao demostró la conjetura de n suficientemente grande en 2020.