Teorema de Gauss-Lucas

En el análisis complejo , una rama de las matemáticas, el teorema de Gauss-Lucas da una relación geométrica entre las raíces de un polinomio P y las raíces de su derivada P ′ . El conjunto de raíces de un polinomio real o complejo es un conjunto de puntos en el plano complejo . El teorema de que las raíces de P ' se encuentran todos dentro de la envolvente convexa de las raíces de P , que es el más pequeño convexa polígono que contiene las raíces de P . Cuando Ptiene una sola raíz, entonces este casco convexo es un solo punto y cuando las raíces se encuentran en una línea, entonces el casco convexo es un segmento de esta línea. El teorema de Gauss-Lucas, que lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss y Félix Lucas, es similar en espíritu al teorema de Rolle .

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Reproducir medios

Ilustración del teorema de Gauss-Lucas, mostrando la evolución de las raíces de las derivadas de un polinomio.

Declaración formal

Si P es un (no constante) polinomio con coeficientes complejos, todos los ceros de P ' pertenecen a la envolvente convexa de la serie de ceros de P . ^[1]

Casos especiales

Es fácil ver que si P ( x ) = ax ² + bx + c es un polinomio de segundo grado , el cero de P ' ( x ) = 2 ax + b es la media de las raíces de P . En ese caso, el casco convexo es el segmento de línea con las dos raíces como puntos finales y está claro que el promedio de las raíces es el punto medio del segmento.

Para un polinomio complejo de tercer grado P ( función cúbica ) con tres ceros distintos, el teorema de Marden establece que los ceros de P ′ son los focos de la inelipse de Steiner, que es la elipse única tangente a los puntos medios del triángulo formado por los ceros de P .

Para un polinomio complejo de cuarto grado P ( función cuártica ) con cuatro ceros distintos que forman un cuadrilátero cóncavo , uno de los ceros de P se encuentra dentro del casco convexo de los otros tres; los tres ceros de P ' se encuentran en dos de los tres triángulos formados por el cero interior de P y otros dos ceros de P . ^[2]

Además, si un polinomio de grado n de coeficientes reales tiene n ceros reales distintos ${\ Displaystyle x_ {1}$ vemos, usando el teorema de Rolle , que los ceros del polinomio derivado están en el intervalo ${\ Displaystyle [x_ {1}, x_ {n}]}$ que es el casco convexo del conjunto de raíces.

El casco convexo de las raíces del polinomio.

{\ Displaystyle p_ {n} x ^ {n} + p_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + p_ {0}}

particularmente incluye el punto

{\ Displaystyle - {\ frac {p_ {n-1}} {n \ cdot p_ {n}}}.}

Prueba

Sobre los números complejos, P es un producto de factores primos

{\ Displaystyle P (z) = \ alpha \ prod _ {i = 1} ^ {n} (z-a_ {i})}

donde los números complejos ${\ Displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}}$ son los ceros, no necesariamente distintos, del polinomio P , el número complejo ${\ Displaystyle \ alpha}$ es el coeficiente principal de P y n es el grado de P . Sea z cualquier número complejo para el que ${\ Displaystyle P (z) \ neq 0.}$ Entonces tenemos para la derivada logarítmica

{\ Displaystyle {\ frac {P ^ {\ prime} (z)} {P (z)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {z-a_ {i} }}.}

En particular, si z es cero de ${\ Displaystyle P '}$ y ${\ Displaystyle P (z) \ neq 0}$ , luego

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {z-a_ {i}}} = 0}

o

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {{\ overline {z}} - {\ overline {a_ {i}}}} {| z-a_ {i} | ^ {2 }}} = 0.}

Esto también se puede escribir como

{\ Displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {| z-a_ {i} | ^ {2}}} \ right) {\ overline {z}} = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {| z-a_ {i} | ^ {2}}} {\ overline {a_ {i}}} \ right). }

Tomando sus conjugados, vemos que ${\ Displaystyle z}$ es una suma ponderada con coeficientes positivos que suman uno, o el baricentro en coordenadas afines , de los números complejos ${\ Displaystyle a_ {i}}$ (con diferente masa asignada en cada raíz cuyos pesos suman colectivamente 1).

Si ${\ Displaystyle P (z) = P '(z) = 0,}$ luego

{\ Displaystyle z = 1 \ cdot a_ {i} + \ left (\ sum _ {j = 1, j \ neq i} ^ {n} 0 \ cdot {a_ {j}} \ right)}

para algunos i , y sigue siendo una combinación convexa de las raíces de ${\ Displaystyle P}$ .

Ver también

Notas

↑ Marden (1966), Teorema (6, 1).
^ Rüdinger, A. (2014). "Fortalecimiento del teorema de Gauss-Lucas para polinomios con ceros en el interior del casco convexo". Preimpresión . arXiv : 1405.0689 . Código bibliográfico : 2014arXiv1405.0689R .

Referencias

Lucas, Félix (1874). "Propriétés géométriques des fraccionnes rationnelles". CR Acad. Sci. París . 77 : 431–433.
Morris Marden, Geometría de polinomios , AMS, 1966.

enlaces externos

"Teorema de Gauss-Lucas" . Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
Teorema de Lucas-Gauss de Bruce Torrence, el Proyecto de demostraciones de Wolfram .

[1] Marden (1966), Teorema (6, 1).

[2] Rüdinger, A. (2014). "Fortalecimiento del teorema de Gauss-Lucas para polinomios con ceros en el interior del casco convexo". Preimpresión . arXiv : 1405.0689 . Código bibliográfico : 2014arXiv1405.0689R .

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