En matemáticas , el método de series de potencias se utiliza para buscar una solución en series de potencias para ciertas ecuaciones diferenciales . En general, tal solución supone una serie de potencias con coeficientes desconocidos, luego sustituye esa solución en la ecuación diferencial para encontrar una relación de recurrencia para los coeficientes.
Si un 2 es cero para alguna z , entonces el método de Frobenius , una variación de este método, es adecuado para tratar los llamados " puntos singulares ". El método funciona de manera análoga tanto para ecuaciones de orden superior como para sistemas.
Podemos determinar A 0 y A 1 si existen condiciones iniciales, es decir, si tenemos un problema de valor inicial .
Una forma mucho más sencilla de resolver esta ecuación (y la solución de series de potencias en general) usando la forma de la serie de Taylor de la expansión. Aquí asumimos que la respuesta es de la forma
El método de series de potencias se puede aplicar a ciertas ecuaciones diferenciales no lineales, aunque con menos flexibilidad. Una clase muy grande de ecuaciones no lineales se puede resolver analíticamente utilizando el método Parker-Sochacki.. Dado que el método de Parker-Sochacki implica una expansión del sistema original de ecuaciones diferenciales ordinarias a través de ecuaciones auxiliares, no se lo denomina simplemente método de series de potencias. El método Parker-Sochacki se realiza antes que el método de series de potencias para hacer posible el método de series de potencias en muchos problemas no lineales. Un problema de EDO se puede expandir con las variables auxiliares que hacen que el método de la serie de potencias sea trivial para un sistema equivalente más grande. Expandir el problema de la EDO con variables auxiliares produce los mismos coeficientes (dado que la serie de potencias para una función es única) a costa de calcular también los coeficientes de las ecuaciones auxiliares. Muchas veces, sin usar variables auxiliares, no existe una forma conocida de obtener la serie de potencias para la solución a un sistema,por tanto, el método de series de potencias por sí solo es difícil de aplicar a la mayoría de las ecuaciones no lineales.
El método de la serie de potencias dará soluciones solo a los problemas de valor inicial (opuesto a los problemas de valor límite ), esto no es un problema cuando se trata de ecuaciones lineales ya que la solución puede generar múltiples soluciones linealmente independientes que pueden combinarse (por superposición ) para resolver problemas de valor límite también. Una restricción adicional es que los coeficientes de la serie se especificarán mediante una recurrencia no lineal (las no linealidades se heredan de la ecuación diferencial).