Hipótesis de los cardenales singulares
En la teoría de conjuntos , la hipótesis de los cardinales singulares (SCH) surgió de la cuestión de si el número cardinal mínimo para el cual la hipótesis del continuo generalizado (GCH) podría fallar podría ser un cardinal singular .
Dado que SCH es una consecuencia de GCH que se sabe que es consistente con ZFC , SCH es consistente con ZFC. También se ha demostrado que la negación de SCH es consistente con ZFC, si se supone la existencia de un número cardinal suficientemente grande. De hecho, según los resultados de Moti Gitik , ZFC + la negación de SCH es equiconsistente con ZFC + la existencia de un cardinal medible κ de orden Mitchell κ ++ .
donde cf denota la función de cofinalidad . Nótese que κ cf(κ) = 2 κ para todos los cardinales límite fuertes singulares κ. La segunda formulación de SCH es estrictamente más fuerte que la primera versión, ya que la primera solo menciona límites fuertes; a partir de un modelo en el que la primera versión de SCH falla en ℵ ω y GCH se mantiene por encima de ℵ ω+2 , podemos construir un modelo en el que la primera versión de SCH se mantiene pero la segunda falla, agregando ℵ ω subconjuntos de Cohen a ℵ n para algún n.
Plata demostró que si κ es singular con cofinality incontable y 2 λ = λ + para todos infinito cardenales λ <κ, a continuación, 2 κ = κ + . Prueba original de la plata utilizada ultrapowers genéricos . El siguiente hecho importante sigue del teorema de plata: si la hipótesis de cardenales singular es válido para todos los cardenales singulares de cofinality contable, entonces se cumple para todos los cardenales singulares. En particular, entonces, si es el menos contraejemplo a la hipótesis de cardenales singulares, a continuación .
