Cardenal regular

En la teoría de conjuntos , un cardinal regular es un número cardinal que es igual a su propia cofinalidad . Más explícitamente, esto significa que es un cardinal regular si y solo si cada subconjunto ilimitado tiene cardinalidad . Los cardenales infinitos bien ordenados que no son regulares se llaman cardenales singulares . Los números cardinales finitos no suelen denominarse regulares ni singulares.${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle C\subseteq \kappa }$${\displaystyle \kappa }$

En presencia del axioma de elección , cualquier número cardinal puede estar bien ordenado , y los siguientes son equivalentes para un cardinal :${\displaystyle \kappa }$

1. ${\displaystyle \kappa }$ es un cardenal regular.
2. Si y para todos , entonces .${\displaystyle \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}<\kappa }$${\displaystyle i}$${\displaystyle |I|\geq \kappa }$
3. Si , y si y para todos , entonces .${\displaystyle S=\bigcup _{i\in I}S_{i}}$${\displaystyle |I|<\kappa }$${\displaystyle |S_{i}|<\kappa }$${\displaystyle i}$${\displaystyle |S|<\kappa }$
4. La categoría de conjuntos de cardinalidad menor que y todas las funciones entre ellos se cierra bajo colímites de cardinalidad menor que .${\displaystyle \operatorname {Set} _{<\kappa }}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$

Hablando crudamente, esto significa que un cardenal regular es uno que no se puede dividir en una pequeña cantidad de partes más pequeñas.

La situación es un poco más complicada en contextos donde el axioma de elección puede fallar, ya que en ese caso no todos los cardinales son necesariamente cardinalidades de conjuntos bien ordenados. En ese caso, la equivalencia anterior se aplica solo a los cardenales bien ordenados.

Un ordinal infinito es un ordinal regular si es un ordinal límite que no es el límite de un conjunto de ordinales más pequeños que como conjunto tiene un tipo de orden menor que . Un ordinal regular es siempre un ordinal inicial , aunque algunos ordinales iniciales no son regulares, por ejemplo, (ver el ejemplo a continuación).${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega _{\omega }}$

Ejemplos

Los ordinales menores que son finitos. Una secuencia finita de ordinales finitos siempre tiene un máximo finito, por lo que no puede ser el límite de ninguna secuencia de tipo menor que cuyos elementos son ordinales menores que , y por lo tanto es un ordinal regular. ( aleph-null ) es un cardinal regular porque su ordinal inicial`` es regular. También puede verse directamente como regular, ya que la suma cardinal de un número finito de números cardinales finitos es finita en sí misma.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega +1}$es el siguiente número ordinal mayor que . Es singular, ya que no es un ordinal límite. es el siguiente límite ordinal después . Se puede escribir como el límite de la secuencia , , , , y así sucesivamente. Esta secuencia tiene un tipo de orden , por lo que es el límite de una secuencia de tipo menor que cuyos elementos son ordinales menores que ; por tanto, es singular.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega +\omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega +1}$${\displaystyle \omega +2}$${\displaystyle \omega +3}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega +\omega }$${\displaystyle \omega +\omega }$${\displaystyle \omega +\omega }$

${\displaystyle \aleph _{1}}$es el siguiente número cardinal mayor que , por lo que los cardinales menores que son contables (finitos o numerables). Suponiendo el axioma de elección, la unión de un conjunto contable de conjuntos contables es en sí misma contable. Por lo tanto , no se puede escribir como la suma de un conjunto contable de números cardinales contables, y es regular.${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

${\displaystyle \aleph _{\omega }}$es el siguiente número cardinal después de la secuencia , , , , y así sucesivamente. Su ordinal inicial es el límite de la secuencia , , , , y así sucesivamente, que tiene tipo de orden , por lo que es singular, y también lo es . Asumiendo el axioma de elección, es el primer cardinal infinito que es singular (el primer ordinal infinito que es singular es ). Probar la existencia de cardenales singulares requiere el axioma de reemplazo y, de hecho, la incapacidad de probar la existencia de la teoría de conjuntos en Zermelo es lo que llevó a Fraenkel a postular este axioma. ^[1]${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle \aleph _{3}}$${\displaystyle \omega _{\omega }}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \omega _{3}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{\omega }}$${\displaystyle \aleph _{\omega }}$${\displaystyle \aleph _{\omega }}$${\displaystyle \omega +1}$${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

Propiedades

Los cardenales de límite incontables (débiles) que también son regulares se conocen como cardenales (débilmente) inaccesibles . No se puede probar que existan dentro de ZFC, aunque no se sabe que su existencia sea incompatible con ZFC. Su existencia a veces se toma como un axioma adicional. Los cardenales inaccesibles son necesariamente puntos fijos de la función aleph , aunque no todos los puntos fijos son regulares. Por ejemplo, el primer punto fijo es el límite de la secuencia -y, por lo tanto, es singular.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},...}$

Si se cumple el axioma de la elección , entonces todo cardenal sucesor es regular. Por lo tanto, la regularidad o singularidad de la mayoría de los números de aleph se puede verificar dependiendo de si el cardenal es un cardenal sucesor o un cardenal límite. No se puede probar que algunos números cardinales sean iguales a ningún aleph en particular, por ejemplo, la cardinalidad del continuo , cuyo valor en ZFC puede ser cualquier cardinal incontable de cofinalidad incontable (véase el teorema de Easton ). La hipótesis del continuo postula que la cardinalidad del continuo es igual a , que es regular.${\displaystyle \aleph _{1}}$

Sin el axioma de la elección, habría números cardinales que no se podrían ordenar bien. Además, no se pudo definir la suma cardinal de una colección arbitraria. Por lo tanto, solo los números aleph pueden llamarse de manera significativa cardenales regulares o singulares. Además, un aleph sucesor no necesita ser regular. Por ejemplo, la unión de un conjunto contable de conjuntos contables no necesita ser contable. Es consistente con ZF que sea ​​el límite de una secuencia contable de ordinales contables, así como el conjunto de números reales sea una unión contable de conjuntos contables. Además, es consistente con ZF que cada aleph más grande que es singular (un resultado probado por Moti Gitik ).${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

Ver también

• Cardenal inaccesible

Referencias

1. Maddy, Penelope (1988), "Creer en los axiomas. I", Journal of Symbolic Logic , 53 (2): 481–511, doi : 10.2307 / 2274520 , JSTOR  2274520 , MR  0947855 , Los primeros indicios del axioma de reemplazo pueden puede encontrarse en la carta de Cantor a Dedekind [1899] y en Mirimanoff [1917] . Maddy cita dos artículos de Mirimanoff, "Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fundamental de la théorie des ensembles" y "Remarques sur la théorie des ensembles et les antinomies Cantorienne", ambos en L'Enseignement Mathématique (1917) .

• Herbert B. Enderton , Elementos de la teoría de conjuntos , ISBN 0-12-238440-7 
• Kenneth Kunen , Teoría de conjuntos, Introducción a las pruebas de independencia , ISBN 0-444-85401-0