En un control óptimo , los problemas de control singular son problemas que son difíciles de resolver porque una aplicación directa del principio mínimo de Pontryagin no logra una solución completa. Solo se han resuelto algunos de estos problemas, como el problema de la cartera de Merton en economía financiera o la optimización de la trayectoria en aeronáutica. A continuación se ofrece una explicación más técnica.
La dificultad más común en la aplicación del principio de Pontryagin surge cuando el hamiltoniano depende linealmente del control, es decir, tiene la forma: y el control está restringido a estar entre un límite superior e inferior: . Minimizar, tenemos que hacer tan grande o tan pequeño como sea posible, dependiendo del signo de , específicamente:
Si es positivo en algunos momentos, negativo en otros y solo es cero instantáneamente, entonces la solución es sencilla y es un control bang-bang que cambia de a en momentos en que cambia de negativo a positivo.
El caso cuando permanece en cero durante un período de tiempo finito se llama el caso de control singular . Entre y la maximización del hamiltoniano con respecto a no nos da información útil y la solución en ese intervalo de tiempo habrá que buscarla a partir de otras consideraciones. (Un enfoque sería diferenciar repetidamentecon respecto al tiempo hasta que el control u vuelva a aparecer explícitamente, lo que se garantiza que sucederá eventualmente. Luego, se puede establecer esa expresión en cero y resolver para u. Esto equivale a decir que entre y el control está determinada por el requisito de que la condición de singularidad se mantenga. El llamado arco singular resultante será óptimo si satisface la condición de Kelley : [1]
Otros se refieren a esta condición como la condición generalizada de Legendre-Clebsch .
El término control bang-singular se refiere a un control que tiene una parte bang-bang así como una parte singular.
Referencias
- ^ Zelikin, MI ; Borisov, VF (2005). "Regímenes óptimos singulares en problemas de economía matemática". Revista de Ciencias Matemáticas . 130 (1): 4409–4570 [Teorema 11.1]. doi : 10.1007 / s10958-005-0350-5 .
enlaces externos
- Bryson, Arthur E. Jr .; Ho, Yu-Chi (1969). "Soluciones singulares de problemas de optimización y control" . Control óptimo aplicado . Waltham: Blaisdell. págs. 246–270.